Average Error: 6.6 → 0.3
Time: 11.4s
Precision: binary64
\[\left(\left(x - 1\right) \cdot \log y + \left(z - 1\right) \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t\]
↓
\[\left(\left(y + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.5 + y \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \log y \cdot \left(-1 + x\right)\right) - \left(t + \left(y \cdot z + \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.5 + y \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot z\right)\right)\]
\left(\left(x - 1\right) \cdot \log y + \left(z - 1\right) \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t
↓
\left(\left(y + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.5 + y \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \log y \cdot \left(-1 + x\right)\right) - \left(t + \left(y \cdot z + \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.5 + y \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot z\right)\right)
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (- (+ (* (- x 1.0) (log y)) (* (- z 1.0) (log (- 1.0 y)))) t))
↓
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (-
  (+ (+ y (* (* y y) (+ 0.5 (* y 0.3333333333333333)))) (* (log y) (+ -1.0 x)))
  (+ t (+ (* y z) (* (* (* y y) (+ 0.5 (* y 0.3333333333333333))) z)))))
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((x - 1.0) * log(y)) + ((z - 1.0) * log(1.0 - y))) - t;
}
↓
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return ((y + ((y * y) * (0.5 + (y * 0.3333333333333333)))) + (log(y) * (-1.0 + x))) - (t + ((y * z) + (((y * y) * (0.5 + (y * 0.3333333333333333))) * z)));
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

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Derivation

  1. Initial program 6.6

    \[\left(\left(x - 1\right) \cdot \log y + \left(z - 1\right) \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t\]

  2. Taylor expanded around 0 0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \log y + \left(0.3333333333333333 \cdot {y}^{3} + \left(0.5 \cdot {y}^{2} + y\right)\right)\right) - \left(\log y + \left(0.5 \cdot \left(z \cdot {y}^{2}\right) + \left(t + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(z \cdot {y}^{3}\right) + z \cdot y\right)\right)\right)\right)}\]

  3. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(y + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.5 + 0.3333333333333333 \cdot y\right)\right) + \log y \cdot \left(-1 + x\right)\right) - \left(t + \left(y \cdot z + z \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.5 + 0.3333333333333333 \cdot y\right)\right)\right)\right)}\]

  4. Final simplification0.3

    \[\leadsto \left(\left(y + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.5 + y \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \log y \cdot \left(-1 + x\right)\right) - \left(t + \left(y \cdot z + \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.5 + y \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot z\right)\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021077 
(FPCore (x y z t)
  :name "Statistics.Distribution.Beta:$cdensity from math-functions-0.1.5.2"
  :precision binary64
  (- (+ (* (- x 1.0) (log y)) (* (- z 1.0) (log (- 1.0 y)))) t))