Average Error: 0.1 → 0.1
Time: 27.6s
Precision: binary64
\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\]
↓
\[\left(a + \frac{rand}{\left|\sqrt[3]{9}\right|} \cdot \sqrt{\frac{a - 0.3333333333333333}{\sqrt[3]{9}}}\right) + -0.3333333333333333\]
\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)
↓
\left(a + \frac{rand}{\left|\sqrt[3]{9}\right|} \cdot \sqrt{\frac{a - 0.3333333333333333}{\sqrt[3]{9}}}\right) + -0.3333333333333333
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))
↓
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (+
  (+
   a
   (*
    (/ rand (fabs (cbrt 9.0)))
    (sqrt (/ (- a 0.3333333333333333) (cbrt 9.0)))))
  -0.3333333333333333))
double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt(9.0 * (a - (1.0 / 3.0)))) * rand));
}
↓
double code(double a, double rand) {
	return (a + ((rand / fabs(cbrt(9.0))) * sqrt((a - 0.3333333333333333) / cbrt(9.0)))) + -0.3333333333333333;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus rand

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 0.1

    \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\]

  2. Simplified0.1

    \[\leadsto \color{blue}{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot 9}}\right)}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied sqrt-prod_binary64_21400.1

    \[\leadsto \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\color{blue}{\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot \sqrt{9}}}\right)\]

  5. Applied associate-/r*_binary64_20680.1

    \[\leadsto \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\frac{rand}{\sqrt{a - 0.3333333333333333}}}{\sqrt{9}}}\right)\]
  6. Using strategy rm

  7. Applied add-cube-cbrt_binary64_21590.1

    \[\leadsto \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{\sqrt{a - 0.3333333333333333}}}{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{9}\right) \cdot \sqrt[3]{9}}}}\right)\]

  8. Applied sqrt-prod_binary64_21400.1

    \[\leadsto \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{\sqrt{a - 0.3333333333333333}}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{9}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{9}}}}\right)\]

  9. Applied *-un-lft-identity_binary64_21240.1

    \[\leadsto \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)}}}}{\sqrt{\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{9}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{9}}}\right)\]

  10. Applied sqrt-prod_binary64_21400.1

    \[\leadsto \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}}}}{\sqrt{\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{9}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{9}}}\right)\]

  11. Applied *-un-lft-identity_binary64_21240.1

    \[\leadsto \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{\color{blue}{1 \cdot rand}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}}}{\sqrt{\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{9}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{9}}}\right)\]

  12. Applied times-frac_binary64_21300.1

    \[\leadsto \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{rand}{\sqrt{a - 0.3333333333333333}}}}{\sqrt{\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{9}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{9}}}\right)\]

  13. Applied times-frac_binary64_21300.2

    \[\leadsto \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\frac{1}{\sqrt{1}}}{\sqrt{\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{9}}} \cdot \frac{\frac{rand}{\sqrt{a - 0.3333333333333333}}}{\sqrt{\sqrt[3]{9}}}}\right)\]

  14. Simplified0.2

    \[\leadsto \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{\left|\sqrt[3]{9}\right|}} \cdot \frac{\frac{rand}{\sqrt{a - 0.3333333333333333}}}{\sqrt{\sqrt[3]{9}}}\right)\]

  15. Taylor expanded around 0 0.1

    \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \sqrt{\frac{a - 0.3333333333333333}{\sqrt[3]{9}}} \cdot \frac{rand}{\left|\sqrt[3]{9}\right|}\right) - 0.3333333333333333}\]

  16. Simplified0.1

    \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \frac{rand}{\left|\sqrt[3]{9}\right|} \cdot \sqrt{\frac{a - 0.3333333333333333}{\sqrt[3]{9}}}\right) + -0.3333333333333333}\]

  17. Final simplification0.1

    \[\leadsto \left(a + \frac{rand}{\left|\sqrt[3]{9}\right|} \cdot \sqrt{\frac{a - 0.3333333333333333}{\sqrt[3]{9}}}\right) + -0.3333333333333333\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021075 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))