math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch

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Precision: binary64

\[im > 0\]

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \leq -6.354361929186644 \cdot 10^{-295}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot 2}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \leq 3.863505225817377 \cdot 10^{-156}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(im + 0.5 \cdot \frac{re \cdot re}{im}\right) - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \leq 3.903053129788442 \cdot 10^{+148}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) -6.354361929186644e-295)
   (* 0.5 (sqrt (* im 2.0)))
   (if (<= (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) 0.0)
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (/ (* im im) (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im))))))))
     (if (<= (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) 3.863505225817377e-156)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (+ im (* 0.5 (/ (* re re) im))) re))))
       (if (<= (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) 3.903053129788442e+148)
         (* 0.5 (sqrt (* (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re) 2.0)))
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((sqrt((re * re) + (im * im)) - re) <= -6.354361929186644e-295) {
		tmp = 0.5 * sqrt(im * 2.0);
	} else if ((sqrt((re * re) + (im * im)) - re) <= 0.0) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * ((im * im) / (re + sqrt((re * re) + (im * im)))));
	} else if ((sqrt((re * re) + (im * im)) - re) <= 3.863505225817377e-156) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * ((im + (0.5 * ((re * re) / im))) - re));
	} else if ((sqrt((re * re) + (im * im)) - re) <= 3.903053129788442e+148) {
		tmp = 0.5 * sqrt((sqrt((re * re) + (im * im)) - re) * 2.0);
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re) < -6.35436192918664438e-295

   1. Initial program 64.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 34.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{im}}\]

   if -6.35436192918664438e-295 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re) < 0.0

   1. Initial program 57.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip--_binary64_394 57.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Simplified 30.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

   5. Simplified 30.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]

   if 0.0 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re) < 3.8635052258173771e-156

   1. Initial program 51.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 26.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{{re}^{2}}{im} + im\right)} - re\right)}\]

   3. Simplified 26.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(im + 0.5 \cdot \frac{re \cdot re}{im}\right)} - re\right)}\]

   if 3.8635052258173771e-156 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re) < 3.9030531297884421e148

   1. Initial program 0.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   if 3.9030531297884421e148 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re)

   1. Initial program 62.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 28.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 18.5

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \leq -6.354361929186644 \cdot 10^{-295}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot 2}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \leq 3.863505225817377 \cdot 10^{-156}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(im + 0.5 \cdot \frac{re \cdot re}{im}\right) - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \leq 3.903053129788442 \cdot 10^{+148}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right) \cdot 2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021060 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  :pre (> im 0.0)
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))