math.sqrt on complex, real part

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Time: 9.6s

Precision: binary64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -2.4801779605399377 \cdot 10^{+149}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot -2}}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.3429819466281329 \cdot 10^{-189}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.9885990575258114 \cdot 10^{-292}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{im - re}}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.44375492704954 \cdot 10^{-163}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.3008799010294317 \cdot 10^{+129}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -2.4801779605399377e+149)
   (*
    0.5
    (*
     (sqrt (sqrt 2.0))
     (* (sqrt (sqrt 2.0)) (/ (fabs im) (sqrt (* re -2.0))))))
   (if (<= re -1.3429819466281329e-189)
     (*
      0.5
      (*
       (sqrt 2.0)
       (/ (fabs im) (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
     (if (<= re -1.9885990575258114e-292)
       (*
        0.5
        (*
         (sqrt (sqrt 2.0))
         (* (sqrt (sqrt 2.0)) (/ (fabs im) (sqrt (- im re))))))
       (if (<= re 1.44375492704954e-163)
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- re im))))
         (if (<= re 2.3008799010294317e+129)
           (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
           (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re re))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -2.4801779605399377e+149) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(sqrt(2.0)) * (sqrt(sqrt(2.0)) * (fabs(im) / sqrt(re * -2.0))));
	} else if (re <= -1.3429819466281329e-189) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0) * (fabs(im) / sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re)));
	} else if (re <= -1.9885990575258114e-292) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(sqrt(2.0)) * (sqrt(sqrt(2.0)) * (fabs(im) / sqrt(im - re))));
	} else if (re <= 1.44375492704954e-163) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re - im));
	} else if (re <= 2.3008799010294317e+129) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	38.7
Target	33.5
Herbie	18.2

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 6 regimes

2. if re < -2.48017796053993768e149

   1. Initial program 63.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64_3121 63.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/_binary64_3089 63.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div_binary64_3164 63.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 49.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied *-un-lft-identity_binary64_3147 49.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   9. Applied sqrt-prod_binary64_3163 49.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   10. Applied sqrt-prod_binary64_3163 49.9

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   11. Applied times-frac_binary64_3153 49.9

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

   12. Simplified 49.9

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

   13. Simplified 49.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]
   14. Using strategy rm

   15. Applied add-sqr-sqrt_binary64_3169 49.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right)} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

   16. Applied associate-*l*_binary64_3088 49.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\right)}\]

   17. Simplified 49.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right)}\right)\]

   18. Taylor expanded around -inf 8.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right)\right)\]

   19. Simplified 8.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{re \cdot -2}}} \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right)\right)\]

   if -2.48017796053993768e149 < re < -1.3429819466281329e-189

   1. Initial program 43.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64_3121 43.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/_binary64_3089 43.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div_binary64_3164 43.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 29.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied *-un-lft-identity_binary64_3147 29.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   9. Applied sqrt-prod_binary64_3163 29.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   10. Applied sqrt-prod_binary64_3163 29.5

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   11. Applied times-frac_binary64_3153 29.5

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

   12. Simplified 29.5

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

   13. Simplified 18.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

   if -1.3429819466281329e-189 < re < -1.98859905752581141e-292

   1. Initial program 30.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64_3121 29.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/_binary64_3089 29.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div_binary64_3164 29.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 29.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied *-un-lft-identity_binary64_3147 29.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   9. Applied sqrt-prod_binary64_3163 29.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   10. Applied sqrt-prod_binary64_3163 29.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   11. Applied times-frac_binary64_3153 29.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

   12. Simplified 29.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

   13. Simplified 27.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]
   14. Using strategy rm

   15. Applied add-sqr-sqrt_binary64_3169 27.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right)} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

   16. Applied associate-*l*_binary64_3088 27.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\right)}\]

   17. Simplified 27.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right)}\right)\]

   18. Taylor expanded around 0 35.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right)\right)\]

   if -1.98859905752581141e-292 < re < 1.44375492704953985e-163

   1. Initial program 29.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around -inf 34.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re - im\right)}}\]

   if 1.44375492704953985e-163 < re < 2.30087990102943175e129

   1. Initial program 16.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   if 2.30087990102943175e129 < re

   1. Initial program 56.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 7.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
3. Recombined 6 regimes into one program.

4. Final simplification 18.2

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -2.4801779605399377 \cdot 10^{+149}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot -2}}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.3429819466281329 \cdot 10^{-189}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.9885990575258114 \cdot 10^{-292}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{im - re}}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.44375492704954 \cdot 10^{-163}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.3008799010294317 \cdot 10^{+129}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021058 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))