Jmat.Real.dawson

Average Error: 29.3 → 0.0

Time: 47.5s

Precision: binary64

Math

\[\frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0072644182 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0005064034 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + 0.7715471019 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.2909738639 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0694555761 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0140005442 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0008327945 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -6282.703984785631 \lor \neg \left(x \leq 28914.575323730303\right):\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{1}{x} + 0.2514179000665374 \cdot \frac{1}{{x}^{3}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \frac{\frac{\left({x}^{8} \cdot 0.0005064034 + \left({x}^{6} \cdot 0.0072644182 + \left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.1049934947\right) + {x}^{4} \cdot 0.0424060604\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot {x}^{10}}{\sqrt{\left(\left(\left(\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.7715471019\right) + {x}^{4} \cdot 0.2909738639\right) + {x}^{6} \cdot 0.0694555761\right) + {x}^{8} \cdot 0.0140005442\right) + {x}^{10} \cdot 0.0008327945\right) + 0.0003579942 \cdot {x}^{12}}}}{\sqrt{\left(\left(\left(\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.7715471019\right) + {x}^{4} \cdot 0.2909738639\right) + {x}^{6} \cdot 0.0694555761\right) + {x}^{8} \cdot 0.0140005442\right) + {x}^{10} \cdot 0.0008327945\right) + 0.0003579942 \cdot {x}^{12}}}\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/
   (+
    (+
     (+
      (+ (+ 1.0 (* 0.1049934947 (* x x))) (* 0.0424060604 (* (* x x) (* x x))))
      (* 0.0072644182 (* (* (* x x) (* x x)) (* x x))))
     (* 0.0005064034 (* (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)) (* x x))))
    (* 0.0001789971 (* (* (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)) (* x x)) (* x x))))
   (+
    (+
     (+
      (+
       (+
        (+ 1.0 (* 0.7715471019 (* x x)))
        (* 0.2909738639 (* (* x x) (* x x))))
       (* 0.0694555761 (* (* (* x x) (* x x)) (* x x))))
      (* 0.0140005442 (* (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)) (* x x))))
     (* 0.0008327945 (* (* (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)) (* x x)) (* x x))))
    (*
     (* 2.0 0.0001789971)
     (* (* (* (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)) (* x x)) (* x x)) (* x x)))))
  x))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -6282.703984785631) (not (<= x 28914.575323730303)))
   (+ (* 0.5 (/ 1.0 x)) (* 0.2514179000665374 (/ 1.0 (pow x 3.0))))
   (*
    x
    (/
     (/
      (+
       (+
        (* (pow x 8.0) 0.0005064034)
        (+
         (* (pow x 6.0) 0.0072644182)
         (+ (+ 1.0 (* (* x x) 0.1049934947)) (* (pow x 4.0) 0.0424060604))))
       (* 0.0001789971 (pow x 10.0)))
      (sqrt
       (+
        (+
         (+
          (+
           (+ (+ 1.0 (* (* x x) 0.7715471019)) (* (pow x 4.0) 0.2909738639))
           (* (pow x 6.0) 0.0694555761))
          (* (pow x 8.0) 0.0140005442))
         (* (pow x 10.0) 0.0008327945))
        (* 0.0003579942 (pow x 12.0)))))
     (sqrt
      (+
       (+
        (+
         (+
          (+ (+ 1.0 (* (* x x) 0.7715471019)) (* (pow x 4.0) 0.2909738639))
          (* (pow x 6.0) 0.0694555761))
         (* (pow x 8.0) 0.0140005442))
        (* (pow x 10.0) 0.0008327945))
       (* 0.0003579942 (pow x 12.0))))))))

C

double code(double x) {
	return ((((((1.0 + (0.1049934947 * (x * x))) + (0.0424060604 * ((x * x) * (x * x)))) + (0.0072644182 * (((x * x) * (x * x)) * (x * x)))) + (0.0005064034 * ((((x * x) * (x * x)) * (x * x)) * (x * x)))) + (0.0001789971 * (((((x * x) * (x * x)) * (x * x)) * (x * x)) * (x * x)))) / ((((((1.0 + (0.7715471019 * (x * x))) + (0.2909738639 * ((x * x) * (x * x)))) + (0.0694555761 * (((x * x) * (x * x)) * (x * x)))) + (0.0140005442 * ((((x * x) * (x * x)) * (x * x)) * (x * x)))) + (0.0008327945 * (((((x * x) * (x * x)) * (x * x)) * (x * x)) * (x * x)))) + ((2.0 * 0.0001789971) * ((((((x * x) * (x * x)) * (x * x)) * (x * x)) * (x * x)) * (x * x))))) * x;
}

↓

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -6282.703984785631) || !(x <= 28914.575323730303)) {
		tmp = (0.5 * (1.0 / x)) + (0.2514179000665374 * (1.0 / pow(x, 3.0)));
	} else {
		tmp = x * (((((pow(x, 8.0) * 0.0005064034) + ((pow(x, 6.0) * 0.0072644182) + ((1.0 + ((x * x) * 0.1049934947)) + (pow(x, 4.0) * 0.0424060604)))) + (0.0001789971 * pow(x, 10.0))) / sqrt((((((1.0 + ((x * x) * 0.7715471019)) + (pow(x, 4.0) * 0.2909738639)) + (pow(x, 6.0) * 0.0694555761)) + (pow(x, 8.0) * 0.0140005442)) + (pow(x, 10.0) * 0.0008327945)) + (0.0003579942 * pow(x, 12.0)))) / sqrt((((((1.0 + ((x * x) * 0.7715471019)) + (pow(x, 4.0) * 0.2909738639)) + (pow(x, 6.0) * 0.0694555761)) + (pow(x, 8.0) * 0.0140005442)) + (pow(x, 10.0) * 0.0008327945)) + (0.0003579942 * pow(x, 12.0))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -6282.70398478563129 or 28914.5753237303034 < x

   1. Initial program 59.5

      \[\frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0072644182 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0005064034 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + 0.7715471019 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.2909738639 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0694555761 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0140005442 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0008327945 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x\]

   2. Simplified 59.5

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot {x}^{4}\right) + 0.0072644182 \cdot {x}^{6}\right) + 0.0005064034 \cdot {x}^{8}\right) + 0.0001789971 \cdot {x}^{10}}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.7715471019\right) + {x}^{4} \cdot 0.2909738639\right) + {x}^{6} \cdot 0.0694555761\right) + {x}^{8} \cdot 0.0140005442\right) + {x}^{10} \cdot 0.0008327945\right) + 0.0003579942 \cdot {x}^{12}}}\]

   3. Taylor expanded around inf 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \frac{1}{x} + 0.2514179000665374 \cdot \frac{1}{{x}^{3}}}\]

   if -6282.70398478563129 < x < 28914.5753237303034

   1. Initial program 0.0

      \[\frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0072644182 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0005064034 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + 0.7715471019 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.2909738639 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0694555761 \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0140005442 \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 0.0008327945 \cdot \left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + \left(2 \cdot 0.0001789971\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot x\]

   2. Simplified 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot {x}^{4}\right) + 0.0072644182 \cdot {x}^{6}\right) + 0.0005064034 \cdot {x}^{8}\right) + 0.0001789971 \cdot {x}^{10}}{\left(\left(\left(\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.7715471019\right) + {x}^{4} \cdot 0.2909738639\right) + {x}^{6} \cdot 0.0694555761\right) + {x}^{8} \cdot 0.0140005442\right) + {x}^{10} \cdot 0.0008327945\right) + 0.0003579942 \cdot {x}^{12}}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt_binary64_1805 0.0

      \[\leadsto x \cdot \frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot {x}^{4}\right) + 0.0072644182 \cdot {x}^{6}\right) + 0.0005064034 \cdot {x}^{8}\right) + 0.0001789971 \cdot {x}^{10}}{\color{blue}{\sqrt{\left(\left(\left(\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.7715471019\right) + {x}^{4} \cdot 0.2909738639\right) + {x}^{6} \cdot 0.0694555761\right) + {x}^{8} \cdot 0.0140005442\right) + {x}^{10} \cdot 0.0008327945\right) + 0.0003579942 \cdot {x}^{12}} \cdot \sqrt{\left(\left(\left(\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.7715471019\right) + {x}^{4} \cdot 0.2909738639\right) + {x}^{6} \cdot 0.0694555761\right) + {x}^{8} \cdot 0.0140005442\right) + {x}^{10} \cdot 0.0008327945\right) + 0.0003579942 \cdot {x}^{12}}}}\]

   5. Applied associate-/r*_binary64_1727 0.0

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\left(\left(\left(\left(1 + 0.1049934947 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 0.0424060604 \cdot {x}^{4}\right) + 0.0072644182 \cdot {x}^{6}\right) + 0.0005064034 \cdot {x}^{8}\right) + 0.0001789971 \cdot {x}^{10}}{\sqrt{\left(\left(\left(\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.7715471019\right) + {x}^{4} \cdot 0.2909738639\right) + {x}^{6} \cdot 0.0694555761\right) + {x}^{8} \cdot 0.0140005442\right) + {x}^{10} \cdot 0.0008327945\right) + 0.0003579942 \cdot {x}^{12}}}}{\sqrt{\left(\left(\left(\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.7715471019\right) + {x}^{4} \cdot 0.2909738639\right) + {x}^{6} \cdot 0.0694555761\right) + {x}^{8} \cdot 0.0140005442\right) + {x}^{10} \cdot 0.0008327945\right) + 0.0003579942 \cdot {x}^{12}}}}\]

   6. Simplified 0.0

      \[\leadsto x \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\left({x}^{8} \cdot 0.0005064034 + \left({x}^{6} \cdot 0.0072644182 + \left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.1049934947\right) + {x}^{4} \cdot 0.0424060604\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot {x}^{10}}{\sqrt{\left(\left(\left(\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.7715471019\right) + {x}^{4} \cdot 0.2909738639\right) + {x}^{6} \cdot 0.0694555761\right) + {x}^{8} \cdot 0.0140005442\right) + {x}^{10} \cdot 0.0008327945\right) + 0.0003579942 \cdot {x}^{12}}}}}{\sqrt{\left(\left(\left(\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.7715471019\right) + {x}^{4} \cdot 0.2909738639\right) + {x}^{6} \cdot 0.0694555761\right) + {x}^{8} \cdot 0.0140005442\right) + {x}^{10} \cdot 0.0008327945\right) + 0.0003579942 \cdot {x}^{12}}}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.0

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -6282.703984785631 \lor \neg \left(x \leq 28914.575323730303\right):\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{1}{x} + 0.2514179000665374 \cdot \frac{1}{{x}^{3}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \frac{\frac{\left({x}^{8} \cdot 0.0005064034 + \left({x}^{6} \cdot 0.0072644182 + \left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.1049934947\right) + {x}^{4} \cdot 0.0424060604\right)\right)\right) + 0.0001789971 \cdot {x}^{10}}{\sqrt{\left(\left(\left(\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.7715471019\right) + {x}^{4} \cdot 0.2909738639\right) + {x}^{6} \cdot 0.0694555761\right) + {x}^{8} \cdot 0.0140005442\right) + {x}^{10} \cdot 0.0008327945\right) + 0.0003579942 \cdot {x}^{12}}}}{\sqrt{\left(\left(\left(\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.7715471019\right) + {x}^{4} \cdot 0.2909738639\right) + {x}^{6} \cdot 0.0694555761\right) + {x}^{8} \cdot 0.0140005442\right) + {x}^{10} \cdot 0.0008327945\right) + 0.0003579942 \cdot {x}^{12}}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021058 
(FPCore (x)
  :name "Jmat.Real.dawson"
  :precision binary64
  (* (/ (+ (+ (+ (+ (+ 1.0 (* 0.1049934947 (* x x))) (* 0.0424060604 (* (* x x) (* x x)))) (* 0.0072644182 (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)))) (* 0.0005064034 (* (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)) (* x x)))) (* 0.0001789971 (* (* (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)) (* x x)) (* x x)))) (+ (+ (+ (+ (+ (+ 1.0 (* 0.7715471019 (* x x))) (* 0.2909738639 (* (* x x) (* x x)))) (* 0.0694555761 (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)))) (* 0.0140005442 (* (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)) (* x x)))) (* 0.0008327945 (* (* (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)) (* x x)) (* x x)))) (* (* 2.0 0.0001789971) (* (* (* (* (* (* x x) (* x x)) (* x x)) (* x x)) (* x x)) (* x x))))) x))