math.sqrt on complex, real part

Average Error: 38.4 → 17.7

Time: 10.6s

Precision: binary64

Cost: 59458

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -2.818620757966959 \cdot 10^{+47}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.7332866166362553 \cdot 10^{-302}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot \left(\left|im\right| \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)\right)}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.7178539826501374 \cdot 10^{+65}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -2.818620757966959e+47)
   (* 0.5 (/ (* (fabs im) (sqrt 2.0)) (sqrt (* re -2.0))))
   (if (<= re -1.7332866166362553e-302)
     (*
      0.5
      (/
       (*
        (cbrt (sqrt 2.0))
        (* (fabs im) (* (cbrt (sqrt 2.0)) (cbrt (sqrt 2.0)))))
       (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
     (if (<= re 2.7178539826501374e+65)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
       (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re)))))))

C

double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -2.818620757966959e+47) {
		tmp = 0.5 * ((fabs(im) * sqrt(2.0)) / sqrt(re * -2.0));
	} else if (re <= -1.7332866166362553e-302) {
		tmp = 0.5 * ((cbrt(sqrt(2.0)) * (fabs(im) * (cbrt(sqrt(2.0)) * cbrt(sqrt(2.0))))) / sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
	} else if (re <= 2.7178539826501374e+65) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else {
		tmp = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	38.4
Target	33.4
Herbie	17.7

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Alternatives

Alternative 1
Error	17.7
Cost	27202

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -2.5691722588780707 \cdot 10^{+47}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.7332866166362553 \cdot 10^{-302}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.611064564330678 \cdot 10^{+65}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \end{array}\]

Alternative 2
Error	22.0
Cost	21060

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.03664592197631 \cdot 10^{+45}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -4.516630140590625 \cdot 10^{-26}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.331423839575629 \cdot 10^{-54}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -3.232302911397631 \cdot 10^{-168}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{im - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.7181943383079424 \cdot 10^{-270}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 4.4830367359115725 \cdot 10^{-132}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.251844211770113 \cdot 10^{+65}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \end{array}\]

Alternative 3
Error	21.2
Cost	20739

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -2.919870635084863 \cdot 10^{+45}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -8.274269364415511 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -6.586732134777266 \cdot 10^{-126}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 4.8024276767462106 \cdot 10^{+63}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \end{array}\]

Alternative 4
Error	23.0
Cost	15299

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -8.01563557220403 \cdot 10^{+80}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -7.599226951224509 \cdot 10^{-157}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.029296558034905 \cdot 10^{-131}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \left(\left(re + 0.5 \cdot \frac{im \cdot im}{re}\right) - 0.125 \cdot \left(im \cdot {\left(\frac{im}{re}\right)}^{3}\right)\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.696497640416062 \cdot 10^{+134}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot 2}\\ \end{array}\]

Alternative 5
Error	23.0
Cost	15172

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -4.31983200987354 \cdot 10^{+81}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -1.097507583186112 \cdot 10^{-137}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.0365108636343385 \cdot 10^{-131}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.656552712178533 \cdot 10^{+139}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot 2}\\ \end{array}\]

Alternative 6
Error	24.4
Cost	14274

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.3582654369823187 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.1850954331301157 \cdot 10^{+65}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \end{array}\]

Alternative 7
Error	30.7
Cost	13825

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.7551297846328707 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -5.935070592025071 \cdot 10^{-173}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot 2}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.058764638628009 \cdot 10^{-217}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot -2}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -4.720786288375031 \cdot 10^{-235}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot 2}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -4.286637238636745 \cdot 10^{-267}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 8.172033728895066 \cdot 10^{-115}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 6.8072912063405145 \cdot 10^{-84}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.6181859523874043 \cdot 10^{-71}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot 2}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.3684134334624174 \cdot 10^{+72}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \end{array}\]

Alternative 8
Error	26.6
Cost	8004

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -3.8527588430306146 \cdot 10^{+39}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -2.720031190523801 \cdot 10^{-24}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\frac{im \cdot im}{re} \cdot -0.5\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -1.619755476660881 \cdot 10^{-151}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.944945926761663 \cdot 10^{-131}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot 2}\\ \end{array}\]

Alternative 9
Error	25.6
Cost	7362

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -1.1616798588497853 \cdot 10^{-152}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 7.593588608950722 \cdot 10^{-131}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot 2}\\ \end{array}\]

Alternative 10
Error	25.9
Cost	7362

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -3.78095167795907 \cdot 10^{-134}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot -2}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.0931973253849203 \cdot 10^{-130}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot 2}\\ \end{array}\]

Alternative 11
Error	37.2
Cost	7041

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 3.434852076289808 \cdot 10^{-138}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot -2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \end{array}\]

Alternative 12
Error	45.7
Cost	7041

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -2.0902661482474546 \cdot 10^{-303}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot -2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array}\]

Alternative 13
Error	59.8
Cost	64

\[1\]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if re < -2.8186207579669591e47

   1. Initial program 59.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64_4144 59.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/_binary64_4112 59.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div_binary64_4187 59.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 40.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied sqrt-prod_binary64_4186 40.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   9. Simplified 36.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   10. Taylor expanded around -inf 12.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

   11. Simplified 12.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\color{blue}{re \cdot -2}}}\]

   12. Simplified 12.8

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{re \cdot -2}}}\]

   if -2.8186207579669591e47 < re < -1.73328661663625528e-302

   1. Initial program 37.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64_4144 36.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/_binary64_4112 36.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div_binary64_4187 36.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 31.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied sqrt-prod_binary64_4186 31.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   9. Simplified 21.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   10. Using strategy rm

   11. Applied add-cube-cbrt_binary64_4205 21.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   12. Applied associate-*r*_binary64_4110 21.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left(\left|im\right| \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   13. Simplified 21.7

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot \left(\left|im\right| \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)\right)}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   if -1.73328661663625528e-302 < re < 2.71785398265013737e65

   1. Initial program 21.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Simplified 21.0

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}}\]

   if 2.71785398265013737e65 < re

   1. Initial program 46.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 13.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{re} \cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{2}\right)}\]

   3. Simplified 12.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{re}\right)}\]

   4. Simplified 12.0

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)}\]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 17.7

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -2.818620757966959 \cdot 10^{+47}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.7332866166362553 \cdot 10^{-302}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot \left(\left|im\right| \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)\right)}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.7178539826501374 \cdot 10^{+65}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021044 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))