Numeric.SpecFunctions:$slogFactorial from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 6.0 → 0.4

Time: 10.0s

Precision: binary64

Cost: 8256

Math

\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x}\]

↓

\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \left(\frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778 + \left(\frac{0.083333333333333}{x} + \left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot \left(z \cdot \frac{z}{x}\right)\right)\right)\]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  (+ (- (* (- x 0.5) (log x)) x) 0.91893853320467)
  (/
   (+
    (* (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778) z)
    0.083333333333333)
   x)))

↓

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  (+ (- (* (- x 0.5) (log x)) x) 0.91893853320467)
  (+
   (* (/ z x) -0.0027777777777778)
   (+ (/ 0.083333333333333 x) (* (+ y 0.0007936500793651) (* z (/ z x)))))))

C

double code(double x, double y, double z) {
	return ((((x - 0.5) * log(x)) - x) + 0.91893853320467) + ((((((y + 0.0007936500793651) * z) - 0.0027777777777778) * z) + 0.083333333333333) / x);
}

↓

double code(double x, double y, double z) {
	return ((((x - 0.5) * log(x)) - x) + 0.91893853320467) + (((z / x) * -0.0027777777777778) + ((0.083333333333333 / x) + ((y + 0.0007936500793651) * (z * (z / x)))));
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	6.0
Target	1.3
Herbie	0.4

\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x + \left(0.91893853320467 - x\right)\right) + \frac{0.083333333333333}{x}\right) + \frac{z}{x} \cdot \left(z \cdot \left(y + 0.0007936500793651\right) - 0.0027777777777778\right)\]

Alternatives

Alternative 1
Error	1.2
Cost	8256

\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \left(\frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778 + \left(\frac{0.083333333333333}{x} + z \cdot \left(\frac{z}{x} \cdot \left(y + 0.0007936500793651\right)\right)\right)\right)\]

Alternative 2
Error	1.1
Cost	9026

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;y + 0.0007936500793651 \leq -158308266.77359775:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \left(\frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778 + \left(\frac{0.083333333333333}{x} + y \cdot \frac{z \cdot z}{x}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y + 0.0007936500793651 \leq 0.0008016929869715559:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \left(\frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778 + \left(\frac{0.083333333333333}{x} + 0.0007936500793651 \cdot \left(z \cdot \frac{z}{x}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \left(\frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778 + \left(\frac{0.083333333333333}{x} + y \cdot \left(z \cdot \frac{z}{x}\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

Alternative 3
Error	0.7
Cost	8712

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;y + 0.0007936500793651 \leq -158308266.77359775 \lor \neg \left(y + 0.0007936500793651 \leq 0.0008016929869715559\right):\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \left(\frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778 + \left(\frac{0.083333333333333}{x} + y \cdot \left(z \cdot \frac{z}{x}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \left(\frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778 + \left(\frac{0.083333333333333}{x} + 0.0007936500793651 \cdot \left(z \cdot \frac{z}{x}\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

Alternative 4
Error	2.3
Cost	8449

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.2228625266445235 \cdot 10^{+116}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(0.083333333333333 + \left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot \left(z \cdot z\right)\right) - z \cdot 0.0027777777777778}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \left(\frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778 + \left(\frac{0.083333333333333}{x} + y \cdot \left(z \cdot \frac{z}{x}\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

Alternative 5
Error	3.3
Cost	8321

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 6.616024221671603 \cdot 10^{+136}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(0.083333333333333 + \left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot \left(z \cdot z\right)\right) - z \cdot 0.0027777777777778}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{0.083333333333333}{x}\\ \end{array}\]

Alternative 6
Error	3.3
Cost	8193

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5.884474440997912 \cdot 10^{+136}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{0.083333333333333 + z \cdot \left(-0.0027777777777778 + z \cdot \left(y + 0.0007936500793651\right)\right)}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{0.083333333333333}{x}\\ \end{array}\]

Alternative 7
Error	3.1
Cost	8258

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.00020805856612656504:\\ \;\;\;\;\frac{0.083333333333333 + z \cdot \left(-0.0027777777777778 + z \cdot \left(y + 0.0007936500793651\right)\right)}{x} + \left(0.91893853320467 + \log x \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.531059835466683 \cdot 10^{+202}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot \frac{z \cdot z}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{0.083333333333333}{x}\\ \end{array}\]

Alternative 8
Error	4.7
Cost	8130

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.00020805856612656504:\\ \;\;\;\;\frac{0.083333333333333 + z \cdot \left(-0.0027777777777778 + z \cdot \left(y + 0.0007936500793651\right)\right)}{x} + \left(0.91893853320467 + \log x \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.2522505983322424 \cdot 10^{+202}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + y \cdot \frac{z \cdot z}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{0.083333333333333}{x}\\ \end{array}\]

Alternative 9
Error	10.0
Cost	8081

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -1.3611053783285396 \cdot 10^{+85} \lor \neg \left(z \leq -8.976890746316297 \cdot 10^{-23} \lor \neg \left(z \leq 2.0605854833901066 \cdot 10^{-38}\right) \land z \leq 1.3502924843869215 \cdot 10^{+154}\right):\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{0.083333333333333}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + y \cdot \frac{z \cdot z}{x}\\ \end{array}\]

Alternative 10
Error	12.2
Cost	7232

\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{0.083333333333333}{x}\]

Alternative 11
Error	60.9
Cost	64

\[1\]

Derivation

1. Initial program 6.0

   \[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x}\]

2. Taylor expanded around 0 6.2

   \[\leadsto \left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \color{blue}{\left(\left(0.0007936500793651 \cdot \frac{{z}^{2}}{x} + \left(0.083333333333333 \cdot \frac{1}{x} + \frac{{z}^{2} \cdot y}{x}\right)\right) - 0.0027777777777778 \cdot \frac{z}{x}\right)}\]

3. Simplified 4.1

   \[\leadsto \left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \color{blue}{\left(\left(\frac{0.083333333333333}{x} + \frac{z \cdot z}{x} \cdot \left(y + 0.0007936500793651\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right)}\]
4. Using strategy rm

5. Applied *-un-lft-identity_binary64_14059 4.1

   \[\leadsto \left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \left(\left(\frac{0.083333333333333}{x} + \frac{z \cdot z}{\color{blue}{1 \cdot x}} \cdot \left(y + 0.0007936500793651\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right)\]

6. Applied times-frac_binary64_14065 0.4

   \[\leadsto \left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \left(\left(\frac{0.083333333333333}{x} + \color{blue}{\left(\frac{z}{1} \cdot \frac{z}{x}\right)} \cdot \left(y + 0.0007936500793651\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right)\]

7. Simplified 0.4

   \[\leadsto \left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \left(\left(\frac{0.083333333333333}{x} + \left(\color{blue}{z} \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(y + 0.0007936500793651\right)\right) + \frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778\right)\]

8. Simplified 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \left(\frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778 + \left(\frac{0.083333333333333}{x} + \left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot \left(z \cdot \frac{z}{x}\right)\right)\right)}\]

9. Final simplification 0.4

   \[\leadsto \left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \left(\frac{z}{x} \cdot -0.0027777777777778 + \left(\frac{0.083333333333333}{x} + \left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot \left(z \cdot \frac{z}{x}\right)\right)\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021044 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:$slogFactorial from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (+ (+ (+ (* (- x 0.5) (log x)) (- 0.91893853320467 x)) (/ 0.083333333333333 x)) (* (/ z x) (- (* z (+ y 0.0007936500793651)) 0.0027777777777778)))

  (+ (+ (- (* (- x 0.5) (log x)) x) 0.91893853320467) (/ (+ (* (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778) z) 0.083333333333333) x)))