2cbrt (problem 3.3.4)

Average Error: 29.8 → 8.8

Time: 4.0s

Precision: binary64

Cost: 27138

Math

\[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.00567900631919:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} - 0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.564235003885954 \cdot 10^{-09}:\\ \;\;\;\;{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{x}^{0.6666666666666666} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -1.00567900631919)
   (-
    (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (* x x))))
    (* 0.1111111111111111 (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0)))))
   (if (<= x 1.564235003885954e-09)
     (- (pow (+ x 1.0) 0.3333333333333333) (cbrt x))
     (/
      1.0
      (+
       (pow x 0.6666666666666666)
       (* (cbrt (+ x 1.0)) (+ (cbrt x) (cbrt (+ x 1.0)))))))))

C

double code(double x) {
	return cbrt(x + 1.0) - cbrt(x);
}

↓

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.00567900631919) {
		tmp = (0.3333333333333333 * cbrt(1.0 / (x * x))) - (0.1111111111111111 * cbrt(1.0 / pow(x, 5.0)));
	} else if (x <= 1.564235003885954e-09) {
		tmp = pow((x + 1.0), 0.3333333333333333) - cbrt(x);
	} else {
		tmp = 1.0 / (pow(x, 0.6666666666666666) + (cbrt(x + 1.0) * (cbrt(x) + cbrt(x + 1.0))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Alternatives

Alternative 1
Error	15.8
Cost	33473

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \leq 3.4865386027149725 \cdot 10^{-05}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} - 0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array}\]

Alternative 2
Error	16.1
Cost	26561

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \leq 1.9165577214153018 \cdot 10^{-07}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array}\]

Alternative 3
Error	15.8
Cost	26497

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \leq 1.9165577214153018 \cdot 10^{-07}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array}\]

Alternative 4
Error	16.2
Cost	7432

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -3.3588118567937144 \lor \neg \left(x \leq 1.0086120422635954\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - \sqrt[3]{x}\right) + x \cdot \left(0.3333333333333333 - x \cdot 0.1111111111111111\right)\\ \end{array}\]

Alternative 5
Error	16.3
Cost	7176

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.00567900631919 \lor \neg \left(x \leq 1.0086120422635954\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - \sqrt[3]{x}\right) + x \cdot 0.3333333333333333\\ \end{array}\]

Alternative 6
Error	16.6
Cost	7176

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.00567900631919 \lor \neg \left(x \leq 0.46945693436754216\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 - \sqrt[3]{x}\\ \end{array}\]

Alternative 7
Error	31.5
Cost	6592

\[1 - \sqrt[3]{x}\]

Alternative 8
Error	32.0
Cost	64

\[1\]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -1.00567900631919005

   1. Initial program 59.7

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\]

   2. Taylor expanded around inf 44.1

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} - 0.1111111111111111 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}}\]

   3. Simplified 30.7

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} - 0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}}\]

   4. Simplified 30.7

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} - 0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}}\]

   if -1.00567900631919005 < x < 1.5642350038859539e-9

   1. Initial program 0.0

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied pow1/3_binary64_160 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x}\]

   4. Simplified 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x}}\]

   if 1.5642350038859539e-9 < x

   1. Initial program 58.2

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip3--_binary64_82 58.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}\]

   4. Simplified 1.0

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}\]

   5. Simplified 4.4

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{x}^{0.6666666666666666} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}}\]

   6. Simplified 4.4

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{{x}^{0.6666666666666666} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}}\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 8.8

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.00567900631919:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} - 0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.564235003885954 \cdot 10^{-09}:\\ \;\;\;\;{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{x}^{0.6666666666666666} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021044 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))