Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm from diagrams-solve-0.1, E

Average Error: 5.2 → 4.6

Time: 13.9s

Precision: binary64

\[[y, z]=\mathsf{sort}([y, z])\]

\[[j, k]=\mathsf{sort}([j, k])\]

Math

\[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq -1.745359137870568 \cdot 10^{-61}:\\ \;\;\;\;t \cdot \left(\left(x \cdot 18\right) \cdot \left(z \cdot y\right) - a \cdot 4\right) + \left(b \cdot c - \left(\left(x \cdot 4\right) \cdot i + \left(j \cdot 27\right) \cdot k\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t \leq 1.2678624417890926 \cdot 10^{-154}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot c - \left(\left(x \cdot 4\right) \cdot i + \left(j \cdot 27\right) \cdot k\right)\right) + -4 \cdot \left(t \cdot a\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t \cdot \left(z \cdot \left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) - a \cdot 4\right) + \left(b \cdot c - \left(\left(x \cdot 4\right) \cdot i + 27 \cdot \left(j \cdot k\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (x y z t a b c i j k)
 :precision binary64
 (-
  (-
   (+ (- (* (* (* (* x 18.0) y) z) t) (* (* a 4.0) t)) (* b c))
   (* (* x 4.0) i))
  (* (* j 27.0) k)))

↓

(FPCore (x y z t a b c i j k)
 :precision binary64
 (if (<= t -1.745359137870568e-61)
   (+
    (* t (- (* (* x 18.0) (* z y)) (* a 4.0)))
    (- (* b c) (+ (* (* x 4.0) i) (* (* j 27.0) k))))
   (if (<= t 1.2678624417890926e-154)
     (+ (- (* b c) (+ (* (* x 4.0) i) (* (* j 27.0) k))) (* -4.0 (* t a)))
     (+
      (* t (- (* z (* (* x 18.0) y)) (* a 4.0)))
      (- (* b c) (+ (* (* x 4.0) i) (* 27.0 (* j k))))))))

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j, double k) {
	return (((((((x * 18.0) * y) * z) * t) - ((a * 4.0) * t)) + (b * c)) - ((x * 4.0) * i)) - ((j * 27.0) * k);
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j, double k) {
	double tmp;
	if (t <= -1.745359137870568e-61) {
		tmp = (t * (((x * 18.0) * (z * y)) - (a * 4.0))) + ((b * c) - (((x * 4.0) * i) + ((j * 27.0) * k)));
	} else if (t <= 1.2678624417890926e-154) {
		tmp = ((b * c) - (((x * 4.0) * i) + ((j * 27.0) * k))) + (-4.0 * (t * a));
	} else {
		tmp = (t * ((z * ((x * 18.0) * y)) - (a * 4.0))) + ((b * c) - (((x * 4.0) * i) + (27.0 * (j * k))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Bits error versus k

Target

Original	5.2
Target	1.6
Herbie	4.6

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t < -1.6210815397541398 \cdot 10^{-69}:\\ \;\;\;\;\left(\left(18 \cdot t\right) \cdot \left(\left(x \cdot y\right) \cdot z\right) - \left(a \cdot t + i \cdot x\right) \cdot 4\right) - \left(\left(k \cdot j\right) \cdot 27 - c \cdot b\right)\\ \mathbf{elif}\;t < 165.68027943805222:\\ \;\;\;\;\left(\left(18 \cdot y\right) \cdot \left(x \cdot \left(z \cdot t\right)\right) - \left(a \cdot t + i \cdot x\right) \cdot 4\right) + \left(c \cdot b - 27 \cdot \left(k \cdot j\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(18 \cdot t\right) \cdot \left(\left(x \cdot y\right) \cdot z\right) - \left(a \cdot t + i \cdot x\right) \cdot 4\right) - \left(\left(k \cdot j\right) \cdot 27 - c \cdot b\right)\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if t < -1.7453591378705681e-61

   1. Initial program 2.1

      \[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k\]

   2. Simplified 2.1

      \[\leadsto \color{blue}{t \cdot \left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z - a \cdot 4\right) + \left(b \cdot c - \left(\left(x \cdot 4\right) \cdot i + \left(j \cdot 27\right) \cdot k\right)\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied associate-*l*_binary64_19797 2.4

      \[\leadsto t \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot 18\right) \cdot \left(y \cdot z\right)} - a \cdot 4\right) + \left(b \cdot c - \left(\left(x \cdot 4\right) \cdot i + \left(j \cdot 27\right) \cdot k\right)\right)\]

   5. Simplified 2.4

      \[\leadsto t \cdot \left(\left(x \cdot 18\right) \cdot \color{blue}{\left(z \cdot y\right)} - a \cdot 4\right) + \left(b \cdot c - \left(\left(x \cdot 4\right) \cdot i + \left(j \cdot 27\right) \cdot k\right)\right)\]

   if -1.7453591378705681e-61 < t < 1.26786244178909264e-154

   1. Initial program 8.4

      \[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k\]

   2. Simplified 8.4

      \[\leadsto \color{blue}{t \cdot \left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z - a \cdot 4\right) + \left(b \cdot c - \left(\left(x \cdot 4\right) \cdot i + \left(j \cdot 27\right) \cdot k\right)\right)}\]

   3. Taylor expanded around 0 6.8

      \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot \left(t \cdot a\right)} + \left(b \cdot c - \left(\left(x \cdot 4\right) \cdot i + \left(j \cdot 27\right) \cdot k\right)\right)\]

   4. Simplified 6.8

      \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot \left(a \cdot t\right)} + \left(b \cdot c - \left(\left(x \cdot 4\right) \cdot i + \left(j \cdot 27\right) \cdot k\right)\right)\]

   if 1.26786244178909264e-154 < t

   1. Initial program 3.5

      \[\left(\left(\left(\left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z\right) \cdot t - \left(a \cdot 4\right) \cdot t\right) + b \cdot c\right) - \left(x \cdot 4\right) \cdot i\right) - \left(j \cdot 27\right) \cdot k\]

   2. Simplified 3.5

      \[\leadsto \color{blue}{t \cdot \left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z - a \cdot 4\right) + \left(b \cdot c - \left(\left(x \cdot 4\right) \cdot i + \left(j \cdot 27\right) \cdot k\right)\right)}\]

   3. Taylor expanded around 0 3.5

      \[\leadsto t \cdot \left(\left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) \cdot z - a \cdot 4\right) + \left(b \cdot c - \left(\left(x \cdot 4\right) \cdot i + \color{blue}{27 \cdot \left(k \cdot j\right)}\right)\right)\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 4.6

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq -1.745359137870568 \cdot 10^{-61}:\\ \;\;\;\;t \cdot \left(\left(x \cdot 18\right) \cdot \left(z \cdot y\right) - a \cdot 4\right) + \left(b \cdot c - \left(\left(x \cdot 4\right) \cdot i + \left(j \cdot 27\right) \cdot k\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t \leq 1.2678624417890926 \cdot 10^{-154}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot c - \left(\left(x \cdot 4\right) \cdot i + \left(j \cdot 27\right) \cdot k\right)\right) + -4 \cdot \left(t \cdot a\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t \cdot \left(z \cdot \left(\left(x \cdot 18\right) \cdot y\right) - a \cdot 4\right) + \left(b \cdot c - \left(\left(x \cdot 4\right) \cdot i + 27 \cdot \left(j \cdot k\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021043 
(FPCore (x y z t a b c i j k)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, E"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< t -1.6210815397541398e-69) (- (- (* (* 18.0 t) (* (* x y) z)) (* (+ (* a t) (* i x)) 4.0)) (- (* (* k j) 27.0) (* c b))) (if (< t 165.68027943805222) (+ (- (* (* 18.0 y) (* x (* z t))) (* (+ (* a t) (* i x)) 4.0)) (- (* c b) (* 27.0 (* k j)))) (- (- (* (* 18.0 t) (* (* x y) z)) (* (+ (* a t) (* i x)) 4.0)) (- (* (* k j) 27.0) (* c b)))))

  (- (- (+ (- (* (* (* (* x 18.0) y) z) t) (* (* a 4.0) t)) (* b c)) (* (* x 4.0) i)) (* (* j 27.0) k)))