Compound Interest

Average Error: 48.0 → 11.1

Time: 28.8s

Precision: binary64

Cost: 213186

Math

\[100 \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{n}}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;i \leq -0.00011156580364168401:\\ \;\;\;\;100 \cdot \frac{e^{i} + -1}{\frac{i}{n}}\\ \mathbf{elif}\;i \leq 13.565025160760564:\\ \;\;\;\;100 \cdot \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(\left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right) + n \cdot \left(i \cdot 0.5 + \left(i \cdot i\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;100 \cdot \left(\left(\frac{{n}^{3}}{i \cdot i} + \left(0.5 \cdot \left({n}^{3} \cdot \frac{{\log n}^{2}}{i}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\log i}^{3} \cdot {n}^{4}}{i} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log n}^{2} \cdot \left(\log i \cdot {n}^{4}\right)}{i} + \left(\frac{\log i \cdot {n}^{4}}{i \cdot i} + \left(0.5 \cdot \left({n}^{3} \cdot \frac{{\log i}^{2}}{i}\right) + \frac{\log i \cdot \left(n \cdot n\right)}{i}\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\left({n}^{3} \cdot \log i\right) \cdot \frac{\log n}{i} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{n}^{4} \cdot {\log n}^{3}}{i} + \left(\frac{\log n \cdot {n}^{4}}{i \cdot i} + \left(0.5 \cdot \left(\frac{{n}^{4}}{{i}^{3}} + \frac{\log n \cdot \left({n}^{4} \cdot {\log i}^{2}\right)}{i}\right) + \frac{\log n \cdot \left(n \cdot n\right)}{i}\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (i n)
 :precision binary64
 (* 100.0 (/ (- (pow (+ 1.0 (/ i n)) n) 1.0) (/ i n))))

↓

(FPCore (i n)
 :precision binary64
 (if (<= i -0.00011156580364168401)
   (* 100.0 (/ (+ (exp i) -1.0) (/ i n)))
   (if (<= i 13.565025160760564)
     (*
      100.0
      (+
       (* -0.5 (+ i (* i i)))
       (+
        (+ n (* 0.3333333333333333 (/ i (/ n i))))
        (* n (+ (* i 0.5) (* (* i i) 0.16666666666666666))))))
     (*
      100.0
      (-
       (+
        (/ (pow n 3.0) (* i i))
        (+
         (* 0.5 (* (pow n 3.0) (/ (pow (log n) 2.0) i)))
         (+
          (* 0.16666666666666666 (/ (* (pow (log i) 3.0) (pow n 4.0)) i))
          (+
           (* 0.5 (/ (* (pow (log n) 2.0) (* (log i) (pow n 4.0))) i))
           (+
            (/ (* (log i) (pow n 4.0)) (* i i))
            (+
             (* 0.5 (* (pow n 3.0) (/ (pow (log i) 2.0) i)))
             (/ (* (log i) (* n n)) i)))))))
       (+
        (* (* (pow n 3.0) (log i)) (/ (log n) i))
        (+
         (* 0.16666666666666666 (/ (* (pow n 4.0) (pow (log n) 3.0)) i))
         (+
          (/ (* (log n) (pow n 4.0)) (* i i))
          (+
           (*
            0.5
            (+
             (/ (pow n 4.0) (pow i 3.0))
             (/ (* (log n) (* (pow n 4.0) (pow (log i) 2.0))) i)))
           (/ (* (log n) (* n n)) i))))))))))

C

double code(double i, double n) {
	return 100.0 * ((pow((1.0 + (i / n)), n) - 1.0) / (i / n));
}

↓

double code(double i, double n) {
	double tmp;
	if (i <= -0.00011156580364168401) {
		tmp = 100.0 * ((exp(i) + -1.0) / (i / n));
	} else if (i <= 13.565025160760564) {
		tmp = 100.0 * ((-0.5 * (i + (i * i))) + ((n + (0.3333333333333333 * (i / (n / i)))) + (n * ((i * 0.5) + ((i * i) * 0.16666666666666666)))));
	} else {
		tmp = 100.0 * (((pow(n, 3.0) / (i * i)) + ((0.5 * (pow(n, 3.0) * (pow(log(n), 2.0) / i))) + ((0.16666666666666666 * ((pow(log(i), 3.0) * pow(n, 4.0)) / i)) + ((0.5 * ((pow(log(n), 2.0) * (log(i) * pow(n, 4.0))) / i)) + (((log(i) * pow(n, 4.0)) / (i * i)) + ((0.5 * (pow(n, 3.0) * (pow(log(i), 2.0) / i))) + ((log(i) * (n * n)) / i))))))) - (((pow(n, 3.0) * log(i)) * (log(n) / i)) + ((0.16666666666666666 * ((pow(n, 4.0) * pow(log(n), 3.0)) / i)) + (((log(n) * pow(n, 4.0)) / (i * i)) + ((0.5 * ((pow(n, 4.0) / pow(i, 3.0)) + ((log(n) * (pow(n, 4.0) * pow(log(i), 2.0))) / i))) + ((log(n) * (n * n)) / i))))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus i

Bits error versus n

Target

Original	48.0
Target	47.7
Herbie	11.1

\[100 \cdot \frac{e^{n \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 + \frac{i}{n} = 1:\\ \;\;\;\;\frac{i}{n}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{i}{n} \cdot \log \left(1 + \frac{i}{n}\right)}{\left(\frac{i}{n} + 1\right) - 1}\\ \end{array}} - 1}{\frac{i}{n}}\]

Alternatives

Alternative 1
Error	56.5
Cost	212544

\[100 \cdot \left(\left(\frac{{n}^{3}}{i \cdot i} + \left(0.5 \cdot \left({n}^{3} \cdot \frac{{\log n}^{2}}{i}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\log i}^{3} \cdot {n}^{4}}{i} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log n}^{2} \cdot \left(\log i \cdot {n}^{4}\right)}{i} + \left(\frac{\log i \cdot {n}^{4}}{i \cdot i} + \left(0.5 \cdot \left({n}^{3} \cdot \frac{{\log i}^{2}}{i}\right) + \frac{\left(n \cdot n\right) \cdot \log i}{i}\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\left(\log i \cdot {n}^{3}\right) \cdot \frac{\log n}{i} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\log n}^{3} \cdot {n}^{4}}{i} + \left(\frac{\log n \cdot {n}^{4}}{i \cdot i} + \left(0.5 \cdot \left(\frac{{n}^{4}}{{i}^{3}} + \frac{\log n \cdot \left({\log i}^{2} \cdot {n}^{4}\right)}{i}\right) + \frac{\left(n \cdot n\right) \cdot \log n}{i}\right)\right)\right)\right)\right)\]

Alternative 2
Error	55.7
Cost	179072

\[100 \cdot \frac{\left(0.5 \cdot \left(\left(n \cdot n\right) \cdot {\log n}^{2}\right) + \left(n \cdot \log i + \left(\frac{n}{\frac{i}{n}} + \left(\frac{\log i}{i} \cdot {n}^{3} + \left(0.5 \cdot \left({\log n}^{2} \cdot \left(\log i \cdot {n}^{3}\right) + \left(n \cdot n\right) \cdot {\log i}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left({n}^{3} \cdot {\log i}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(0.5 \cdot \frac{{n}^{3}}{i \cdot i} + \left(\log n \cdot \left(n + \left(n \cdot n\right) \cdot \log i\right) + \left({n}^{3} \cdot \frac{\log n}{i} + \left(0.16666666666666666 \cdot \left({n}^{3} \cdot {\log n}^{3}\right) + \log \left(\sqrt{n}\right) \cdot \left({n}^{3} \cdot {\log i}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)}{\frac{i}{n}}\]

Alternative 3
Error	29.8
Cost	95808

\[100 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)}}\right)}\right)\right)\]

Alternative 4
Error	30.0
Cost	95808

\[100 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)}}\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\]

Alternative 5
Error	56.1
Cost	80064

\[100 \cdot \left(\left(\frac{{n}^{3}}{i \cdot i} + \left(\frac{\left(n \cdot n\right) \cdot \log i}{i} + 0.5 \cdot \left({n}^{3} \cdot \frac{{\log n}^{2}}{i} + {n}^{3} \cdot \frac{{\log i}^{2}}{i}\right)\right)\right) - \left(\left(\log i \cdot {n}^{3}\right) \cdot \frac{\log n}{i} + \frac{\left(n \cdot n\right) \cdot \log n}{i}\right)\right)\]

Alternative 6
Error	48.1
Cost	79360

\[100 \cdot \left(\frac{\sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1} \cdot \sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{\frac{\sqrt[3]{i} \cdot \sqrt[3]{i}}{\sqrt[3]{n} \cdot \sqrt[3]{n}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{\frac{\sqrt[3]{i}}{\sqrt[3]{n}}}\right)\]

Alternative 7
Error	57.8
Cost	72832

\[100 \cdot \left(\frac{\sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1} \cdot \sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{\frac{\sqrt{i}}{\sqrt[3]{n} \cdot \sqrt[3]{n}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{\frac{\sqrt{i}}{\sqrt[3]{n}}}\right)\]

Alternative 8
Error	60.0
Cost	72832

\[100 \cdot \left(\frac{\sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1} \cdot \sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{\frac{\sqrt[3]{i} \cdot \sqrt[3]{i}}{\sqrt{n}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{\frac{\sqrt[3]{i}}{\sqrt{n}}}\right)\]

Alternative 9
Error	60.6
Cost	66304

\[100 \cdot \left(\frac{\sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1} \cdot \sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{\frac{\sqrt{i}}{\sqrt{n}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{\frac{\sqrt{i}}{\sqrt{n}}}\right)\]

Alternative 10
Error	29.8
Cost	60224

\[100 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)}}\right)\right)\right)\]

Alternative 11
Error	48.1
Cost	59904

\[100 \cdot \left(\left(\left(\sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1} \cdot \sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{n} \cdot \sqrt[3]{n}\right)\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{\frac{i}{\sqrt[3]{n}}}\right)\]

Alternative 12
Error	48.1
Cost	59904

\[100 \cdot \left(\frac{\sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1} \cdot \sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{\sqrt[3]{i} \cdot \sqrt[3]{i}} \cdot \frac{\sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{\frac{\sqrt[3]{i}}{n}}\right)\]

Alternative 13
Error	60.1
Cost	53376

\[100 \cdot \left(\left(\left(\sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1} \cdot \sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}\right) \cdot \sqrt{n}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{\frac{i}{\sqrt{n}}}\right)\]

Alternative 14
Error	57.8
Cost	53376

\[100 \cdot \left(\frac{\sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1} \cdot \sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{\sqrt{i}} \cdot \frac{\sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{\frac{\sqrt{i}}{n}}\right)\]

Alternative 15
Error	54.9
Cost	47552

\[100 \cdot \frac{\left(0.5 \cdot \left(\left(n \cdot n\right) \cdot {\log n}^{2}\right) + \left(n \cdot \log i + \left(\frac{n}{\frac{i}{n}} + 0.5 \cdot \left(\left(n \cdot n\right) \cdot {\log i}^{2}\right)\right)\right)\right) - \log n \cdot \left(n + \left(n \cdot n\right) \cdot \log i\right)}{\frac{i}{n}}\]

Alternative 16
Error	48.1
Cost	46336

\[100 \cdot \left(\frac{1}{\frac{\sqrt[3]{i} \cdot \sqrt[3]{i}}{\sqrt[3]{n} \cdot \sqrt[3]{n}}} \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{\sqrt[3]{i}}{\sqrt[3]{n}}}\right)\]

Alternative 17
Error	48.2
Cost	40960

\[100 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{n}}} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{n}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{n}}}\right)\right)\]

Alternative 18
Error	48.0
Cost	40448

\[100 \cdot \left(\frac{\sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1} \cdot \sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{i} \cdot \left(n \cdot \sqrt[3]{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}\right)\right)\]

Alternative 19
Error	60.4
Cost	40000

\[100 \cdot \left(\frac{\sqrt{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{\sqrt{i}} \cdot \left(n \cdot \frac{\sqrt{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{\sqrt{i}}\right)\right)\]

Alternative 20
Error	60.4
Cost	40000

\[100 \cdot \left(\left(\sqrt{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1} \cdot \sqrt{n}\right) \cdot \frac{\sqrt{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{\frac{i}{\sqrt{n}}}\right)\]

Alternative 21
Error	31.7
Cost	29376

\[100 \cdot \left(\left(0.5 \cdot \left(n \cdot i\right) + \left(0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}} + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(n \cdot \left(i \cdot i\right)\right) + \left(\frac{{i}^{3}}{n} \cdot 0.4583333333333333 + \left(n + 0.041666666666666664 \cdot \left(n \cdot {i}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\left({i}^{3} + \frac{{i}^{3}}{n \cdot n}\right) \cdot 0.25 + 0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right)\right)\right)\]

Alternative 22
Error	31.7
Cost	29248

\[\left(\left(n \cdot i\right) \cdot 50 + \left(\frac{i}{\frac{n}{i}} \cdot 33.333333333333336 + \left(\left(n \cdot \left(i \cdot i\right)\right) \cdot 16.666666666666668 + \left(\frac{{i}^{3}}{n} \cdot 45.833333333333336 + n \cdot \left(100 + {i}^{3} \cdot 4.166666666666667\right)\right)\right)\right)\right) - \left(25 \cdot \left({i}^{3} + \frac{{i}^{3}}{n \cdot n}\right) + \left(i + i \cdot i\right) \cdot 50\right)\]

Alternative 23
Error	48.1
Cost	27712

\[100 \cdot \frac{{\left({\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n}\right)}^{3} - 1}{\frac{i}{n} \cdot \left({\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{\left(n \cdot 2\right)} + \left(1 + {\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n}\right)\right)}\]

Alternative 24
Error	48.1
Cost	27136

\[100 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{i}{n}} \cdot \sqrt[3]{\frac{i}{n}}} \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\sqrt[3]{\frac{i}{n}}}\right)\]

Alternative 25
Error	57.0
Cost	27072

\[100 \cdot \left(\frac{\sqrt{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}}{i} \cdot \left(n \cdot \sqrt{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}\right)\right)\]

Alternative 26
Error	48.1
Cost	26880

\[100 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{i} \cdot \sqrt[3]{i}} \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{\sqrt[3]{i}}{n}}\right)\]

Alternative 27
Error	48.1
Cost	26752

\[100 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{n} \cdot \sqrt[3]{n}\right) \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{\sqrt[3]{n}}}\right)\]

Alternative 28
Error	48.1
Cost	26752

\[100 \cdot \frac{\frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\sqrt[3]{i} \cdot \sqrt[3]{i}}}{\frac{\sqrt[3]{i}}{n}}\]

Alternative 29
Error	29.5
Cost	24640

\[100 \cdot \left(\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)}\right)\right)\]

Alternative 30
Error	30.1
Cost	22976

\[100 \cdot \left(\left(\sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{n}\right)\]

Alternative 31
Error	57.8
Cost	20352

\[100 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{i}} \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{\sqrt{i}}{n}}\right)\]

Alternative 32
Error	60.1
Cost	20224

\[100 \cdot \left(\sqrt{n} \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{\sqrt{n}}}\right)\]

Alternative 33
Error	50.5
Cost	20160

\[\sqrt[3]{{\left(\frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{n}}\right)}^{3} \cdot 1000000}\]

Alternative 34
Error	51.4
Cost	20096

\[100 \cdot e^{\log \left(\frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{n}}\right)}\]

Alternative 35
Error	49.2
Cost	14720

\[100 \cdot \sqrt[3]{{\left(n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)\right)}^{3}}\]

Alternative 36
Error	48.0
Cost	14400

\[100 \cdot \frac{\frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{\left(n \cdot 2\right)} + -1}{1 + {\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n}}}{\frac{i}{n}}\]

Alternative 37
Error	49.4
Cost	7424

\[100 \cdot \left(\frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n}}{\frac{i}{n}} - \frac{n}{i}\right)\]

Alternative 38
Error	48.0
Cost	7424

\[100 \cdot \left(\frac{1}{i} \cdot \left(n \cdot \left({\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1\right)\right)\right)\]

Alternative 39
Error	48.0
Cost	7296

\[100 \cdot \left(n \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{i}\right)\]

Alternative 40
Error	48.2
Cost	7296

\[100 \cdot \left(\frac{n}{i} \cdot \left({\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1\right)\right)\]

Alternative 41
Error	46.3
Cost	7296

\[100 \cdot \frac{n \cdot {\left(i \cdot \frac{1}{n}\right)}^{n} - n}{i}\]

Alternative 42
Error	48.0
Cost	7296

\[100 \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{n}}\]

Alternative 43
Error	48.0
Cost	7296

\[n \cdot \left(100 \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{i}\right)\]

Alternative 44
Error	48.0
Cost	7296

\[\frac{100 \cdot \left({\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1\right)}{\frac{i}{n}}\]

Alternative 45
Error	52.8
Cost	7104

\[100 \cdot \frac{n \cdot \log \left(\frac{i}{n}\right)}{\frac{i}{n}}\]

Alternative 46
Error	54.3
Cost	7104

\[100 \cdot \frac{\left(n \cdot n\right) \cdot \log \left(\frac{i}{n}\right)}{i}\]

Alternative 47
Error	47.8
Cost	6976

\[100 \cdot \frac{e^{i} + -1}{\frac{i}{n}}\]

Alternative 48
Error	28.9
Cost	1984

\[100 \cdot \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(\left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right) + n \cdot \left(i \cdot 0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \left(i \cdot i\right)\right)\right)\right)\]

Alternative 49
Error	28.9
Cost	1856

\[100 \cdot \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right)\right)\]

Alternative 50
Error	29.1
Cost	1600

\[100 \cdot \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(\left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right) + n \cdot \left(i \cdot 0.5\right)\right)\right)\]

Alternative 51
Error	28.9
Cost	832

\[100 \cdot \left(n + n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\]

Alternative 52
Error	29.0
Cost	832

\[100 \cdot \left(\left(n + 0.5 \cdot \left(n \cdot i\right)\right) - i \cdot 0.5\right)\]

Alternative 53
Error	29.0
Cost	704

\[n \cdot \left(100 + i \cdot 50\right) - i \cdot 50\]

Alternative 54
Error	33.2
Cost	448

\[100 \cdot \frac{i}{\frac{i}{n}}\]

Alternative 55
Error	50.9
Cost	448

\[100 \cdot \frac{0}{\frac{i}{n}}\]

Alternative 56
Error	28.3
Cost	192

\[100 \cdot n\]

Alternative 57
Error	61.7
Cost	64

\[1\]

Alternative 58
Error	50.7
Cost	64

\[0\]

Alternative 59
Error	61.8
Cost	64

\[-1\]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if i < -1.1156580364168401e-4

   1. Initial program 29.0

      \[100 \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{n}}\]

   2. Taylor expanded around inf 11.5

      \[\leadsto 100 \cdot \color{blue}{\frac{\left(e^{i} - 1\right) \cdot n}{i}}\]

   3. Simplified 10.9

      \[\leadsto 100 \cdot \color{blue}{\frac{e^{i} + -1}{\frac{i}{n}}}\]

   4. Simplified 10.9

      \[\leadsto \color{blue}{100 \cdot \frac{e^{i} + -1}{\frac{i}{n}}}\]

   if -1.1156580364168401e-4 < i < 13.5650251607605643

   1. Initial program 58.1

      \[100 \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{n}}\]

   2. Taylor expanded around 0 9.2

      \[\leadsto 100 \cdot \color{blue}{\left(\left(0.5 \cdot \left(i \cdot n\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \left({i}^{2} \cdot n\right) + \left(0.3333333333333333 \cdot \frac{{i}^{2}}{n} + n\right)\right)\right) - \left(0.5 \cdot {i}^{2} + 0.5 \cdot i\right)\right)}\]

   3. Simplified 9.2

      \[\leadsto 100 \cdot \color{blue}{\left(\left(n \cdot \left(i \cdot 0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \left(i \cdot i\right)\right) + \left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right)\right) + -0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right)\right)}\]

   4. Simplified 9.2

      \[\leadsto \color{blue}{100 \cdot \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(\left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right) + n \cdot \left(i \cdot 0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \left(i \cdot i\right)\right)\right)\right)}\]

   if 13.5650251607605643 < i

   1. Initial program 33.1

      \[100 \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{n}}\]

   2. Taylor expanded around 0 20.2

      \[\leadsto 100 \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{{n}^{3}}{{i}^{2}} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log n}^{2} \cdot {n}^{3}}{i} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{n}^{4} \cdot {\log i}^{3}}{i} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log n}^{2} \cdot \left(\log i \cdot {n}^{4}\right)}{i} + \left(\frac{\log i \cdot {n}^{4}}{{i}^{2}} + \left(0.5 \cdot \frac{{n}^{3} \cdot {\log i}^{2}}{i} + \frac{{n}^{2} \cdot \log i}{i}\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{\log n \cdot \left(\log i \cdot {n}^{3}\right)}{i} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\log n}^{3} \cdot {n}^{4}}{i} + \left(\frac{\log n \cdot {n}^{4}}{{i}^{2}} + \left(0.5 \cdot \frac{{n}^{4}}{{i}^{3}} + \left(0.5 \cdot \frac{\log n \cdot \left({\log i}^{2} \cdot {n}^{4}\right)}{i} + \frac{\log n \cdot {n}^{2}}{i}\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\]

   3. Simplified 20.2

      \[\leadsto 100 \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{{n}^{3}}{i \cdot i} + \left(0.5 \cdot \left(\frac{{\log n}^{2}}{i} \cdot {n}^{3}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{n}^{4} \cdot {\log i}^{3}}{i} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log n}^{2} \cdot \left(\log i \cdot {n}^{4}\right)}{i} + \left(\frac{\log i \cdot {n}^{4}}{i \cdot i} + \left(0.5 \cdot \left(\frac{{\log i}^{2}}{i} \cdot {n}^{3}\right) + \frac{\log i \cdot \left(n \cdot n\right)}{i}\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\frac{\log n}{i} \cdot \left(\log i \cdot {n}^{3}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{n}^{4} \cdot {\log n}^{3}}{i} + \left(\frac{\log n \cdot {n}^{4}}{i \cdot i} + \left(0.5 \cdot \left(\frac{{n}^{4}}{{i}^{3}} + \frac{\log n \cdot \left({n}^{4} \cdot {\log i}^{2}\right)}{i}\right) + \frac{\log n \cdot \left(n \cdot n\right)}{i}\right)\right)\right)\right)\right)}\]

   4. Simplified 20.2

      \[\leadsto \color{blue}{100 \cdot \left(\left(\frac{{n}^{3}}{i \cdot i} + \left(0.5 \cdot \left({n}^{3} \cdot \frac{{\log n}^{2}}{i}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\log i}^{3} \cdot {n}^{4}}{i} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log n}^{2} \cdot \left(\log i \cdot {n}^{4}\right)}{i} + \left(\frac{\log i \cdot {n}^{4}}{i \cdot i} + \left(0.5 \cdot \left({n}^{3} \cdot \frac{{\log i}^{2}}{i}\right) + \frac{\left(n \cdot n\right) \cdot \log i}{i}\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\left(\log i \cdot {n}^{3}\right) \cdot \frac{\log n}{i} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\log n}^{3} \cdot {n}^{4}}{i} + \left(\frac{\log n \cdot {n}^{4}}{i \cdot i} + \left(0.5 \cdot \left(\frac{{n}^{4}}{{i}^{3}} + \frac{\log n \cdot \left({\log i}^{2} \cdot {n}^{4}\right)}{i}\right) + \frac{\left(n \cdot n\right) \cdot \log n}{i}\right)\right)\right)\right)\right)}\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 11.1

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;i \leq -0.00011156580364168401:\\ \;\;\;\;100 \cdot \frac{e^{i} + -1}{\frac{i}{n}}\\ \mathbf{elif}\;i \leq 13.565025160760564:\\ \;\;\;\;100 \cdot \left(-0.5 \cdot \left(i + i \cdot i\right) + \left(\left(n + 0.3333333333333333 \cdot \frac{i}{\frac{n}{i}}\right) + n \cdot \left(i \cdot 0.5 + \left(i \cdot i\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;100 \cdot \left(\left(\frac{{n}^{3}}{i \cdot i} + \left(0.5 \cdot \left({n}^{3} \cdot \frac{{\log n}^{2}}{i}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\log i}^{3} \cdot {n}^{4}}{i} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log n}^{2} \cdot \left(\log i \cdot {n}^{4}\right)}{i} + \left(\frac{\log i \cdot {n}^{4}}{i \cdot i} + \left(0.5 \cdot \left({n}^{3} \cdot \frac{{\log i}^{2}}{i}\right) + \frac{\log i \cdot \left(n \cdot n\right)}{i}\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \left(\left({n}^{3} \cdot \log i\right) \cdot \frac{\log n}{i} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{n}^{4} \cdot {\log n}^{3}}{i} + \left(\frac{\log n \cdot {n}^{4}}{i \cdot i} + \left(0.5 \cdot \left(\frac{{n}^{4}}{{i}^{3}} + \frac{\log n \cdot \left({n}^{4} \cdot {\log i}^{2}\right)}{i}\right) + \frac{\log n \cdot \left(n \cdot n\right)}{i}\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021042 
(FPCore (i n)
  :name "Compound Interest"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* 100.0 (/ (- (exp (* n (if (== (+ 1.0 (/ i n)) 1.0) (/ i n) (/ (* (/ i n) (log (+ 1.0 (/ i n)))) (- (+ (/ i n) 1.0) 1.0))))) 1.0) (/ i n)))

  (* 100.0 (/ (- (pow (+ 1.0 (/ i n)) n) 1.0) (/ i n))))