math.cos on complex, imaginary part

Average Error: 43.4 → 0.7

Time: 12.6s

Precision: binary64

Cost: 33408

Math

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

↓

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \sin re \cdot im\]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (-
  (*
   (* 0.5 (sin re))
   (+
    (* (pow im 7.0) -0.0003968253968253968)
    (+
     (* (pow im 5.0) -0.016666666666666666)
     (* (pow im 3.0) -0.3333333333333333))))
  (* (sin re) im)))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return ((0.5 * sin(re)) * ((pow(im, 7.0) * -0.0003968253968253968) + ((pow(im, 5.0) * -0.016666666666666666) + (pow(im, 3.0) * -0.3333333333333333)))) - (sin(re) * im);
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	43.4
Target	0.3
Herbie	0.7

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Alternatives

Alternative 1
Error	42.9
Cost	101184

\[\frac{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right)}^{3} - {\left(0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)}^{3}\right)}{\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) + \left(\left(0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right) \cdot \left(0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \left(0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\right)}\]

Alternative 2
Error	1.7
Cost	100352

\[\sqrt[3]{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) + {im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) + {im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) + {im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968\right)}\right)\]

Alternative 3
Error	33.3
Cost	91392

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \left(\sqrt[3]{\sin re} \cdot \sqrt[3]{\sin re}\right) \cdot \left(im \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{\sin re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sin re}}\right)\right)\]

Alternative 4
Error	1.7
Cost	87040

\[\sqrt[3]{\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) + {im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968} \cdot \left(\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) + {im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) + {im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968}\right)\right)\]

Alternative 5
Error	43.4
Cost	78464

\[\sqrt[3]{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)}\right)\]

Alternative 6
Error	43.5
Cost	71936

\[\frac{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({\left(e^{im}\right)}^{-3} - {\left(e^{im}\right)}^{3}\right)}{e^{-im} \cdot e^{-im} + \left(e^{im} \cdot e^{im} + e^{-im} \cdot e^{im}\right)}\]

Alternative 7
Error	25.5
Cost	66880

\[\sqrt{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) + {im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968\right)} \cdot \sqrt{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) + {im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968\right)}\]

Alternative 8
Error	1.7
Cost	66112

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) + \sqrt[3]{\sin re \cdot \left(-im\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\sin re \cdot \left(-im\right)} \cdot \sqrt[3]{\sin re \cdot \left(-im\right)}\right)\]

Alternative 9
Error	1.6
Cost	65664

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \left(\sqrt[3]{\sin re} \cdot \sqrt[3]{\sin re}\right) \cdot \left(im \cdot \sqrt[3]{\sin re}\right)\]

Alternative 10
Error	43.4
Cost	65152

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\sqrt[3]{e^{-im} - e^{im}} \cdot \left(\sqrt[3]{e^{-im} - e^{im}} \cdot \sqrt[3]{e^{-im} - e^{im}}\right)\right)\]

Alternative 11
Error	22.6
Cost	61120

\[\frac{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) \cdot \left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) + {im}^{14} \cdot -1.5747039556563367 \cdot 10^{-07}\right)}{\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) + 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}}\]

Alternative 12
Error	33.2
Cost	60224

\[\sqrt{\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) + {im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968} \cdot \left(\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \sqrt{\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) + {im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968}\right)\]

Alternative 13
Error	33.5
Cost	59264

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - e^{0.6666666666666666 \cdot \log \sin re} \cdot \left(im \cdot \sqrt[3]{\sin re}\right)\]

Alternative 14
Error	5.5
Cost	59264

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - {\left({\sin re}^{2}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \left(im \cdot \sqrt[3]{\sin re}\right)\]

Alternative 15
Error	4.9
Cost	59200

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \sqrt[3]{{\sin re}^{2}} \cdot \left(im \cdot \sqrt[3]{\sin re}\right)\]

Alternative 16
Error	1.6
Cost	59200

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - {\left(\sqrt[3]{\sin re}\right)}^{2} \cdot \left(im \cdot \sqrt[3]{\sin re}\right)\]

Alternative 17
Error	43.5
Cost	58688

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \frac{{\left(e^{im}\right)}^{-3} - {\left(e^{im}\right)}^{3}}{{\left(e^{im}\right)}^{-2} + \left({\left(e^{im}\right)}^{2} + 1\right)}\]

Alternative 18
Error	43.4
Cost	58432

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\sqrt{e^{-im}} + \sqrt{e^{im}}\right) \cdot \left(\sqrt{e^{-im}} - \sqrt{e^{im}}\right)\right)\]

Alternative 19
Error	1.7
Cost	53056

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) + \sqrt[3]{-im} \cdot \left(\sin re \cdot \left(\sqrt[3]{-im} \cdot \sqrt[3]{-im}\right)\right)\]

Alternative 20
Error	25.5
Cost	52992

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) + \sqrt{\sin re \cdot \left(-im\right)} \cdot \sqrt{\sin re \cdot \left(-im\right)}\]

Alternative 21
Error	1.7
Cost	52864

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \sqrt[3]{im} \cdot \left(\sin re \cdot \left(\sqrt[3]{im} \cdot \sqrt[3]{im}\right)\right)\]

Alternative 22
Error	33.5
Cost	52800

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - {\sin re}^{0.6666666666666666} \cdot \left(im \cdot \sqrt[3]{\sin re}\right)\]

Alternative 23
Error	33.0
Cost	52736

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \sqrt{\sin re} \cdot \left(im \cdot \sqrt{\sin re}\right)\]

Alternative 24
Error	33.2
Cost	46464

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) + \sqrt{-im} \cdot \left(\sin re \cdot \sqrt{-im}\right)\]

Alternative 25
Error	31.8
Cost	46336

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \sqrt{im} \cdot \left(\sin re \cdot \sqrt{im}\right)\]

Alternative 26
Error	43.4
Cost	45696

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \frac{{\left(e^{im}\right)}^{-2} - {\left(e^{im}\right)}^{2}}{e^{-im} + e^{im}}\]

Alternative 27
Error	33.9
Cost	39872

\[\sqrt[3]{{\left(\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) + {im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)}^{3}}\]

Alternative 28
Error	0.7
Cost	39872

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) - \sqrt[3]{{\left(0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)}^{3}}\right)\]

Alternative 29
Error	44.8
Cost	38784

\[\log \left(\sqrt{e^{\sin re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)}}\right)\]

Alternative 30
Error	0.7
Cost	33280

\[\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) - \sin re \cdot \left({im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984 + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)\]

Alternative 31
Error	43.4
Cost	32576

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \sqrt[3]{{\left(e^{-im} - e^{im}\right)}^{3}}\]

Alternative 32
Error	44.8
Cost	32512

\[e^{\log \left(\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)}\]

Alternative 33
Error	43.8
Cost	32512

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \log \left(e^{e^{-im} - e^{im}}\right)\]

Alternative 34
Error	0.7
Cost	27200

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) - \sin re \cdot im\]

Alternative 35
Error	31.5
Cost	27008

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - re \cdot im\]

Alternative 36
Error	0.7
Cost	27008

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) + {im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968\right)\]

Alternative 37
Error	7.7
Cost	26880

\[re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)\right) - \sin re \cdot im\]

Alternative 38
Error	43.4
Cost	26304

\[\frac{0.5 \cdot \sin re}{e^{im}} + e^{im} \cdot \left(\sin re \cdot -0.5\right)\]

Alternative 39
Error	0.7
Cost	20800

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + \left(im \cdot -2 - im \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\]

Alternative 40
Error	31.5
Cost	20352

\[re \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 - \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + \left(im + {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\]

Alternative 41
Error	0.8
Cost	20288

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right)\]

Alternative 42
Error	43.4
Cost	19712

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

Alternative 43
Error	0.9
Cost	13568

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right)\]

Alternative 44
Error	0.9
Cost	13312

\[\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)\]

Alternative 45
Error	1.3
Cost	6848

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot -2\right)\]

Alternative 46
Error	1.3
Cost	6656

\[\sin re \cdot \left(-im\right)\]

Alternative 47
Error	61.7
Cost	64

\[1\]

Alternative 48
Error	45.9
Cost	64

\[0\]

Alternative 49
Error	61.7
Cost	64

\[-1\]

Derivation

1. Initial program 43.4

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

2. Taylor expanded around 0 0.7

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {im}^{3} + 2 \cdot im\right)\right)\right)\right)}\]

3. Simplified 0.7

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)}\]
4. Using strategy rm

5. Applied sub-neg_binary64_3394 0.7

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(im \cdot -2 + \left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right)\right)} - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\]

6. Applied associate--l+_binary64_3338 0.7

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot -2 + \left(\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right)\right)} - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\]

7. Applied associate--l+_binary64_3338 0.7

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot -2 + \left(\left(\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\right)}\]

8. Applied distribute-rgt-in_binary64_3351 0.7

   \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot -2\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right) + \left(\left(\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)}\]

9. Simplified 0.7

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + \left(\left(\left(-0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\]

10. Simplified 0.7

    \[\leadsto \sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\]

11. Simplified 0.7

    \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \sin re \cdot im}\]

12. Final simplification 0.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left({im}^{7} \cdot -0.0003968253968253968 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \sin re \cdot im\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021042 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))