Average Error: 6.3 → 3.5

Time: 8.2s

Precision: binary64

Cost: 14209

\[x \cdot x - \left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \cdot z \leq 7.797257741793615 \cdot 10^{+303}:\\ \;\;\;\;x \cdot x - \left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot x - \left(\left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z + \sqrt{t}\right)\right) \cdot \left(z - \sqrt{t}\right)\\ \end{array}\]

x \cdot x - \left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)

↓

\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;z \cdot z \leq 7.797257741793615 \cdot 10^{+303}:\\
\;\;\;\;x \cdot x - \left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;x \cdot x - \left(\left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z + \sqrt{t}\right)\right) \cdot \left(z - \sqrt{t}\right)\\

\end{array}

(FPCore (x y z t) :precision binary64 (- (* x x) (* (* y 4.0) (- (* z z) t))))

↓

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= (* z z) 7.797257741793615e+303)
   (- (* x x) (* (* y 4.0) (- (* z z) t)))
   (- (* x x) (* (* (* y 4.0) (+ z (sqrt t))) (- z (sqrt t))))))

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (x * x) - ((y * 4.0) * ((z * z) - t));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if ((z * z) <= 7.797257741793615e+303) {
		tmp = (x * x) - ((y * 4.0) * ((z * z) - t));
	} else {
		tmp = (x * x) - (((y * 4.0) * (z + sqrt(t))) * (z - sqrt(t)));
	}
	return tmp;
}

Error

The X axis uses an exponential scale — Bits error versus `x`

Try it out

In
Out

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original	6.3
Target	6.2
Herbie	3.5

\[x \cdot x - 4 \cdot \left(y \cdot \left(z \cdot z - t\right)\right)\]

Alternatives

Alternative 1
Error	29.2
Cost	34560

\[x \cdot x - \left(\sqrt[3]{\left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{\left(y \cdot 4\right) \cdot \left({z}^{4} - t \cdot t\right)}}{\sqrt[3]{t + z \cdot z}}\]

Alternative 2
Error	6.9
Cost	27712

\[x \cdot x - \left(\sqrt[3]{\left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{y \cdot 4} \cdot \sqrt[3]{z \cdot z - t}\right)\]

Alternative 3
Error	30.2
Cost	27584

Alternative 4
Error	7.0
Cost	21312

\[x \cdot x - \sqrt[3]{\left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)}\right)\]

Alternative 5
Error	19.2
Cost	21056

\[x \cdot x - \left(\sqrt[3]{\left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{y \cdot \left(t \cdot -4\right)}\]

Alternative 6
Error	49.0
Cost	20992

\[\frac{{x}^{6} - {\left(y \cdot \left(t \cdot -4\right)\right)}^{3}}{{x}^{4} + y \cdot \left(\left(t \cdot -4\right) \cdot \left(x \cdot x + y \cdot \left(t \cdot -4\right)\right)\right)}\]

Alternative 7
Error	42.2
Cost	14784

\[x \cdot x - \frac{\left(y \cdot 4\right) \cdot \left({z}^{6} - {t}^{3}\right)}{\left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot z\right) + \left(t \cdot t + t \cdot \left(z \cdot z\right)\right)}\]

Alternative 8
Error	25.1
Cost	14528

\[\sqrt{x \cdot x - \left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)} \cdot \sqrt{x \cdot x - \left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)}\]

Alternative 9
Error	32.6
Cost	14272

\[x \cdot x - \sqrt{\left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)} \cdot \sqrt{\left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)}\]

Alternative 10
Error	26.5
Cost	14016

\[x \cdot x - \sqrt{z \cdot z - t} \cdot \left(\left(y \cdot 4\right) \cdot \sqrt{z \cdot z - t}\right)\]

Alternative 11
Error	31.9
Cost	13760

\[x \cdot x - \left(\left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z + \sqrt{t}\right)\right) \cdot \left(z - \sqrt{t}\right)\]

Alternative 12
Error	33.7
Cost	13696

\[x \cdot x - \left(y \cdot 4\right) \cdot \sqrt[3]{{\left(z \cdot z - t\right)}^{3}}\]

Alternative 13
Error	46.0
Cost	13440

\[\sqrt[3]{{\left(y \cdot \left(4 \cdot t\right) + x \cdot x\right)}^{3}}\]

Alternative 14
Error	60.4
Cost	13376

\[\log \left(e^{y \cdot \left(4 \cdot t\right) + x \cdot x}\right)\]

Alternative 15
Error	33.0
Cost	13376

\[e^{\log \left(y \cdot \left(4 \cdot t\right) + x \cdot x\right)}\]

Alternative 16
Error	43.5
Cost	8576

\[\frac{{x}^{4} - y \cdot \left(\left(\left(z \cdot z - t\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)\right) \cdot \left(y \cdot 16\right)\right)}{x \cdot x + \left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)}\]

Alternative 17
Error	29.0
Cost	7680

\[x \cdot x - \frac{\left(y \cdot 4\right) \cdot \left({z}^{4} - t \cdot t\right)}{t + z \cdot z}\]

Alternative 18
Error	25.6
Cost	7680

\[x \cdot x - \left(y \cdot 4\right) \cdot \frac{{z}^{4} - t \cdot t}{t + z \cdot z}\]

Alternative 19
Error	6.3
Cost	1088

\[x \cdot x - \left(y \cdot \left(t \cdot -4\right) + \left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z\right)\right)\]

Alternative 20
Error	6.3
Cost	832

\[x \cdot x - \left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)\]

Alternative 21
Error	30.1
Cost	704

\[x \cdot x - \left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z\right)\]

Alternative 22
Error	17.9
Cost	576

\[y \cdot \left(4 \cdot t\right) + x \cdot x\]

Alternative 23
Error	25.2
Cost	576

\[y \cdot \left(-4 \cdot \left(z \cdot z - t\right)\right)\]

Alternative 24
Error	48.6
Cost	448

\[-4 \cdot \left(y \cdot \left(z \cdot z\right)\right)\]

Alternative 25
Error	37.3
Cost	320

\[y \cdot \left(4 \cdot t\right)\]

Alternative 26
Error	41.5
Cost	192

\[x \cdot x\]

Alternative 27
Error	61.4
Cost	64

\[1\]

Alternative 28
Error	60.6
Cost	64

\[0\]

Alternative 29
Error	62.2
Cost	64

\[-1\]

Error

Derivation

Split input into 2 regimes
if (*.f64 z z) < 7.79725774179361499e303
1. Initial program 0.1
  \[x \cdot x - \left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)\]
2. Simplified0.1
  \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x - \left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)}\]
if 7.79725774179361499e303 < (*.f64 z z)
1. Initial program 62.6
  \[x \cdot x - \left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)\]
2. Using strategy rm
3. Applied add-sqr-sqrt_binary64_1974063.4
  \[\leadsto x \cdot x - \left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - \color{blue}{\sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}\right)\]
4. Applied difference-of-squares_binary64_1968763.4
  \[\leadsto x \cdot x - \left(y \cdot 4\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(z + \sqrt{t}\right) \cdot \left(z - \sqrt{t}\right)\right)}\]
5. Applied associate-*r*_binary64_1965834.2
  \[\leadsto x \cdot x - \color{blue}{\left(\left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z + \sqrt{t}\right)\right) \cdot \left(z - \sqrt{t}\right)}\]
6. Simplified34.2
  \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x - \left(\left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z + \sqrt{t}\right)\right) \cdot \left(z - \sqrt{t}\right)}\]
Recombined 2 regimes into one program.
Final simplification3.5
\[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \cdot z \leq 7.797257741793615 \cdot 10^{+303}:\\ \;\;\;\;x \cdot x - \left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z \cdot z - t\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot x - \left(\left(y \cdot 4\right) \cdot \left(z + \sqrt{t}\right)\right) \cdot \left(z - \sqrt{t}\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021042 
(FPCore (x y z t)
  :name "Graphics.Rasterific.Shading:$sradialGradientWithFocusShader from Rasterific-0.6.1, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (- (* x x) (* 4.0 (* y (- (* z z) t))))

  (- (* x x) (* (* y 4.0) (- (* z z) t))))

Error

Try it out

Target

Alternatives

Error

Derivation

`if (*.f64 z z) < 7.79725774179361499e303`

`if 7.79725774179361499e303 < (*.f64 z z)`

Reproduce