Numeric.SpecFunctions:invIncompleteBetaWorker from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 9.2 → 0.2

Time: 14.2s

Precision: binary64

Cost: 14464

Math

\[\left(x \cdot \log y + z \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t\]

↓

\[\left(x \cdot \log y + \left(z \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right) - y\right) + {y}^{4} \cdot \left(z \cdot -0.25\right)\right)\right) - t\]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (- (+ (* x (log y)) (* z (log (- 1.0 y)))) t))

↓

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (-
  (+
   (* x (log y))
   (+
    (* z (- (* (* y y) (- -0.5 (* y 0.3333333333333333))) y))
    (* (pow y 4.0) (* z -0.25))))
  t))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return ((x * log(y)) + (z * log(1.0 - y))) - t;
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return ((x * log(y)) + ((z * (((y * y) * (-0.5 - (y * 0.3333333333333333))) - y)) + (pow(y, 4.0) * (z * -0.25)))) - t;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Target

Original	9.2
Target	0.3
Herbie	0.2

\[\left(-z\right) \cdot \left(\left(0.5 \cdot \left(y \cdot y\right) + y\right) + \frac{0.3333333333333333}{1 \cdot \left(1 \cdot 1\right)} \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right) - \left(t - x \cdot \log y\right)\]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.4
Cost	48768

\[\left(x \cdot \log y + \sqrt[3]{z \cdot \left(\left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right) - y\right) + {y}^{4} \cdot -0.25\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{z \cdot \left(\left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right) - y\right) + {y}^{4} \cdot -0.25\right)} \cdot \sqrt[3]{z \cdot \left(\left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right) - y\right) + {y}^{4} \cdot -0.25\right)}\right)\right) - t\]

Alternative 2
Error	9.2
Cost	46272

\[\left(x \cdot \log y + \sqrt[3]{z \cdot \log \left(1 - y\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{z \cdot \log \left(1 - y\right)} \cdot \sqrt[3]{z \cdot \log \left(1 - y\right)}\right)\right) - t\]

Alternative 3
Error	9.2
Cost	46016

\[\left(x \cdot \log y + z \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(1 - y\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\log \left(1 - y\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(1 - y\right)}\right)\right)\right) - t\]

Alternative 4
Error	9.6
Cost	46016

\[\left(z \cdot \log \left(1 - y\right) + \sqrt[3]{x \cdot \log y} \cdot \left(\sqrt[3]{x \cdot \log y} \cdot \sqrt[3]{x \cdot \log y}\right)\right) - t\]

Alternative 5
Error	9.6
Cost	45760

\[\left(z \cdot \log \left(1 - y\right) + \sqrt[3]{\log y} \cdot \left(x \cdot \left(\sqrt[3]{\log y} \cdot \sqrt[3]{\log y}\right)\right)\right) - t\]

Alternative 6
Error	0.7
Cost	40256

\[\left(\left(z \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - y \cdot z\right) + \sqrt[3]{x \cdot \log y} \cdot \left(\sqrt[3]{x \cdot \log y} \cdot \sqrt[3]{x \cdot \log y}\right)\right) - t\]

Alternative 7
Error	9.3
Cost	33088

\[\left(\left(x \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{y}\right) \cdot 2\right) + x \cdot \log \left(\sqrt[3]{y}\right)\right) + z \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t\]

Alternative 8
Error	8.9
Cost	33088

\[\left(x \cdot \log y + \left(z \cdot \log \left(1 + \sqrt{y}\right) + z \cdot \log \left(1 - \sqrt{y}\right)\right)\right) - t\]

Alternative 9
Error	9.2
Cost	32960

\[\left(x \cdot \log y + \left(\sqrt[3]{z} \cdot \sqrt[3]{z}\right) \cdot \left(\log \left(1 - y\right) \cdot \sqrt[3]{z}\right)\right) - t\]

Alternative 10
Error	8.9
Cost	32960

\[\left(x \cdot \log y + z \cdot \left(\log \left(1 + \sqrt{y}\right) + \log \left(1 - \sqrt{y}\right)\right)\right) - t\]

Alternative 11
Error	9.2
Cost	32960

\[\left(x \cdot \log y + z \cdot \left(\log \left(\sqrt{1 - y}\right) + \log \left(\sqrt{1 - y}\right)\right)\right) - t\]

Alternative 12
Error	9.7
Cost	32960

\[\left(z \cdot \log \left(1 - y\right) + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\log y \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right) - t\]

Alternative 13
Error	36.8
Cost	32960

\[\left(z \cdot \log \left(1 - y\right) + \sqrt{x \cdot \log y} \cdot \sqrt{x \cdot \log y}\right) - t\]

Alternative 14
Error	0.3
Cost	27328

\[\left(\left(x \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{y}\right) \cdot 2\right) + x \cdot \log \left(\sqrt[3]{y}\right)\right) + \left(z \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - y \cdot z\right)\right) - t\]

Alternative 15
Error	23.2
Cost	27200

\[\left(\sqrt[3]{{\left(x \cdot \log y\right)}^{3}} + z \cdot \left(\left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right) - y\right) + {y}^{4} \cdot -0.25\right)\right) - t\]

Alternative 16
Error	0.7
Cost	27200

\[\left(\left(z \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - y \cdot z\right) + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\log y \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right) - t\]

Alternative 17
Error	9.2
Cost	26880

\[\left(x \cdot \log y + z \cdot \left(\log \left(1 - {y}^{3}\right) - \log \left(1 + \left(y + y \cdot y\right)\right)\right)\right) - t\]

Alternative 18
Error	36.6
Cost	26432

\[\left(z \cdot \log \left(1 - y\right) + \sqrt{x} \cdot \left(\log y \cdot \sqrt{x}\right)\right) - t\]

Alternative 19
Error	9.2
Cost	26368

\[\left(x \cdot \log y + z \cdot \sqrt[3]{{\log \left(1 - y\right)}^{3}}\right) - t\]

Alternative 20
Error	31.6
Cost	26368

\[\left(z \cdot \log \left(1 - y\right) + \sqrt[3]{{\left(x \cdot \log y\right)}^{3}}\right) - t\]

Alternative 21
Error	37.9
Cost	26304

\[\left(z \cdot \log \left(1 - y\right) + e^{\log \left(x \cdot \log y\right)}\right) - t\]

Alternative 22
Error	32.1
Cost	20672

\[\left(\left(z \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - y \cdot z\right) + \sqrt{x} \cdot \left(\log y \cdot \sqrt{x}\right)\right) - t\]

Alternative 23
Error	23.2
Cost	20608

\[\left(\left(z \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - y \cdot z\right) + \sqrt[3]{{\left(x \cdot \log y\right)}^{3}}\right) - t\]

Alternative 24
Error	9.2
Cost	20288

\[\left(x \cdot \log y + z \cdot \left(\log \left(1 - y \cdot y\right) - \log \left(y + 1\right)\right)\right) - t\]

Alternative 25
Error	43.3
Cost	19840

\[\left(z \cdot \log \left(1 - y\right) + \log \left({y}^{x}\right)\right) - t\]

Alternative 26
Error	44.0
Cost	19776

\[\log \left({y}^{x} \cdot {\left(1 - y\right)}^{z}\right) - t\]

Alternative 27
Error	0.2
Cost	14336

\[\left(x \cdot \log y + z \cdot \left(\left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right) - y\right) + {y}^{4} \cdot -0.25\right)\right) - t\]

Alternative 28
Error	9.2
Cost	13504

\[\left(x \cdot \log y + z \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t\]

Alternative 29
Error	0.3
Cost	7744

\[\left(x \cdot \log y + \left(z \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - y \cdot z\right)\right) - t\]

Alternative 30
Error	0.3
Cost	7616

\[\left(x \cdot \log y + z \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right) - y\right)\right) - t\]

Alternative 31
Error	0.3
Cost	7360

\[\left(x \cdot \log y - z \cdot \left(y + \left(y \cdot y\right) \cdot 0.5\right)\right) - t\]

Alternative 32
Error	0.3
Cost	7360

\[\left(x \cdot \log y + y \cdot \left(y \cdot \left(z \cdot -0.5\right) - z\right)\right) - t\]

Alternative 33
Error	0.3
Cost	7360

\[\left(x \cdot \log y + z \cdot \left(y \cdot \left(-1 + y \cdot -0.5\right)\right)\right) - t\]

Alternative 34
Error	0.6
Cost	6976

\[\left(x \cdot \log y - y \cdot z\right) - t\]

Alternative 35
Error	35.5
Cost	6848

\[z \cdot \log \left(1 - y\right) - t\]

Alternative 36
Error	9.9
Cost	6720

\[x \cdot \log y - t\]

Alternative 37
Error	61.9
Cost	64

\[1\]

Alternative 38
Error	62.4
Cost	64

\[0\]

Alternative 39
Error	61.9
Cost	64

\[-1\]

Derivation

1. Initial program 9.2

   \[\left(x \cdot \log y + z \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t\]

2. Taylor expanded around 0 0.2

   \[\leadsto \left(x \cdot \log y + z \cdot \color{blue}{\left(-\left(0.25 \cdot {y}^{4} + \left(y + \left(0.3333333333333333 \cdot {y}^{3} + 0.5 \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) - t\]

3. Simplified 0.2

   \[\leadsto \left(x \cdot \log y + z \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right) - y\right) + {y}^{4} \cdot -0.25\right)}\right) - t\]
4. Using strategy rm

5. Applied distribute-rgt-in_binary64_10011 0.2

   \[\leadsto \left(x \cdot \log y + \color{blue}{\left(\left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right) - y\right) \cdot z + \left({y}^{4} \cdot -0.25\right) \cdot z\right)}\right) - t\]

6. Simplified 0.2

   \[\leadsto \left(x \cdot \log y + \left(\color{blue}{z \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right) - y\right)} + \left({y}^{4} \cdot -0.25\right) \cdot z\right)\right) - t\]

7. Simplified 0.2

   \[\leadsto \left(x \cdot \log y + \left(z \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right) - y\right) + \color{blue}{{y}^{4} \cdot \left(z \cdot -0.25\right)}\right)\right) - t\]

8. Simplified 0.2

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \log y + \left(z \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right) - y\right) + {y}^{4} \cdot \left(z \cdot -0.25\right)\right)\right) - t}\]

9. Final simplification 0.2

   \[\leadsto \left(x \cdot \log y + \left(z \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(-0.5 - y \cdot 0.3333333333333333\right) - y\right) + {y}^{4} \cdot \left(z \cdot -0.25\right)\right)\right) - t\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021042 
(FPCore (x y z t)
  :name "Numeric.SpecFunctions:invIncompleteBetaWorker from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (- (* (- z) (+ (+ (* 0.5 (* y y)) y) (* (/ 0.3333333333333333 (* 1.0 (* 1.0 1.0))) (* y (* y y))))) (- t (* x (log y))))

  (- (+ (* x (log y)) (* z (log (- 1.0 y)))) t))