Average Error: 32.8 → 6.9
Time: 5.2min
Precision: binary64
Cost: 67073
\[{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 67572.21162884781:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3} + 0.5 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{2}}{n \cdot n}\right) + \frac{\log \left(x + 1\right) - \log x}{n}\right) - 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3}\right) + -0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{x \cdot n}\\ \end{array}\]
{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;x \leq 67572.21162884781:\\
\;\;\;\;\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3} + 0.5 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{2}}{n \cdot n}\right) + \frac{\log \left(x + 1\right) - \log x}{n}\right) - 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3}\right) + -0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{x \cdot n}\\

\end{array}
(FPCore (x n)
 :precision binary64
 (- (pow (+ x 1.0) (/ 1.0 n)) (pow x (/ 1.0 n))))
↓
(FPCore (x n)
 :precision binary64
 (if (<= x 67572.21162884781)
   (+
    (-
     (+
      (+
       (* 0.16666666666666666 (pow (/ (log (+ x 1.0)) n) 3.0))
       (* 0.5 (/ (pow (log (+ x 1.0)) 2.0) (* n n))))
      (/ (- (log (+ x 1.0)) (log x)) n))
     (* 0.16666666666666666 (pow (/ (log x) n) 3.0)))
    (* -0.5 (/ (pow (log x) 2.0) (* n n))))
   (/ (exp (/ (log x) n)) (* x n))))
double code(double x, double n) {
	return pow((x + 1.0), (1.0 / n)) - pow(x, (1.0 / n));
}
↓
double code(double x, double n) {
	double tmp;
	if (x <= 67572.21162884781) {
		tmp = ((((0.16666666666666666 * pow((log(x + 1.0) / n), 3.0)) + (0.5 * (pow(log(x + 1.0), 2.0) / (n * n)))) + ((log(x + 1.0) - log(x)) / n)) - (0.16666666666666666 * pow((log(x) / n), 3.0))) + (-0.5 * (pow(log(x), 2.0) / (n * n)));
	} else {
		tmp = exp(log(x) / n) / (x * n);
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus n

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Alternatives

Alternative 1
Error32.2
Cost729920
\[\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}}\right)}\right)\right)\]
Alternative 2
Error32.2
Cost517696
\[\left(\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}}\right)\right)\]
Alternative 3
Error32.1
Cost511296
\[\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}}\right)\right)\]
Alternative 4
Error32.1
Cost511296
\[\left(\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}}\right)\]
Alternative 5
Error48.2
Cost478720
\[\left(\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{{\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} \cdot 0.25 - \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}}{\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} - \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}}\]
Alternative 6
Error33.4
Cost464384
\[\sqrt[3]{\left({\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} \cdot -0.5 - \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right) - \frac{\log x}{n}} \cdot \left(\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}}\right)\right)\]
Alternative 7
Error32.1
Cost299072
\[\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}\right)\]
Alternative 8
Error38.1
Cost279872
\[\frac{\left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)}{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) + \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}\]
Alternative 9
Error33.3
Cost252160
\[\left(\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\left({\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} \cdot -0.5 - \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right) - \frac{\log x}{n}}\]
Alternative 10
Error32.3
Cost232448
\[\left(\sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \frac{\log \left(1 + x\right) - \log x}{n}}\]
Alternative 11
Error44.2
Cost212160
\[\left(\sqrt{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)} + \sqrt{\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)}\right) \cdot \left(\sqrt{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)} - \sqrt{\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)}\right)\]
Alternative 12
Error43.5
Cost199360
\[\sqrt{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}\]
Alternative 13
Error38.1
Cost146752
\[\left(\left(\left(\frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{x \cdot n} + \frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{{x}^{3}} \cdot \left(\frac{0.16666666666666666}{{n}^{3}} + \frac{0.3333333333333333}{n}\right)\right) + 0.041666666666666664 \cdot \frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{{x}^{4} \cdot {n}^{4}}\right) + \frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{n \cdot n} \cdot \left(\frac{0.5}{x \cdot x} + \frac{0.4583333333333333}{{x}^{4}}\right)\right) - \left(\frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{{x}^{4}} \cdot \left(\frac{0.25}{n} + \frac{0.25}{{n}^{3}}\right) + 0.5 \cdot \left(\frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{x \cdot \left(x \cdot n\right)} + \frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{n \cdot \left(n \cdot {x}^{3}\right)}\right)\right)\]
Alternative 14
Error39.1
Cost107008
\[\left(0.5 \cdot \frac{{\log \left(1 + x\right)}^{2}}{n \cdot n} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \frac{\log \left(1 + {x}^{3}\right)}{n}\right) - \left(\frac{\log \left(x \cdot x + \left(1 - x\right)\right)}{n} - 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right) + 0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n}\right)\right)\]
Alternative 15
Error43.7
Cost106112
\[\sqrt[3]{{\left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)}^{3}}\]
Alternative 16
Error26.1
Cost93504
\[\left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) + 0.5 \cdot \frac{{\log \left(1 + x\right)}^{2}}{n \cdot n}\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right) + 0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n}\right)\right)\]
Alternative 17
Error26.1
Cost93376
\[\left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) + 0.5 \cdot \frac{{\log \left(1 + x\right)}^{2}}{n \cdot n}\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\]
Alternative 18
Error31.6
Cost93248
\[0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)\]
Alternative 19
Error40.8
Cost74752
\[\left(\frac{{x}^{3}}{n} \cdot 0.3333333333333333 + \left(0.5 \cdot \left(\frac{x}{n} \cdot \frac{x}{n}\right) + \left(\frac{x}{n} + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{x}^{3}}{{n}^{3}}\right)\right)\right) - \left(\left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \left(\frac{x \cdot x}{n} + \frac{{x}^{3}}{n \cdot n}\right)\right)\]
Alternative 20
Error37.0
Cost73856
\[\left(\left(\frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{x \cdot n} + \frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{{x}^{3}} \cdot \left(\frac{0.16666666666666666}{{n}^{3}} + \frac{0.3333333333333333}{n}\right)\right) + \frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{0.5}{n \cdot n} - \frac{0.5}{n}\right)\right) + -0.5 \cdot \frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{n \cdot \left(n \cdot {x}^{3}\right)}\]
Alternative 21
Error28.5
Cost66752
\[\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3} + 0.5 \cdot \frac{{\log \left(1 + x\right)}^{2}}{n \cdot n}\right) + \frac{\log \left(1 + x\right) - \log x}{n}\right) - 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3}\right) + -0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n}\]
Alternative 22
Error32.8
Cost59840
\[\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}} \cdot \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}}\right)\]
Alternative 23
Error44.6
Cost53568
\[\frac{{\left({\left(1 + x\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\right)}^{3} - {\left({x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\right)}^{3}}{{\left(1 + x\right)}^{\left(\frac{2}{n}\right)} + \left({x}^{\left(\frac{2}{n}\right)} + {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)} \cdot {\left(1 + x\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\right)}\]
Alternative 24
Error32.8
Cost52672
\[\left({\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} + {\left(\sqrt{x}\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {\left(\sqrt{x}\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\right)\]
Alternative 25
Error40.2
Cost46592
\[\frac{\left(\frac{1}{n} + 0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{{n}^{3}}\right) - \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\left(-\log x\right)}^{3}}{{n}^{4}} - \frac{\log x}{n \cdot n}\right)}{x}\]
Alternative 26
Error40.3
Cost46336
\[\left({\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} \cdot -0.5 - \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right) - \frac{\log x}{n}\]
Alternative 27
Error17.8
Cost40000
\[\frac{\log \left(1 + x\right)}{n} + \left(\frac{0.5}{n} \cdot \left(\frac{{\log \left(1 + x\right)}^{2}}{n} - \frac{{\log x}^{2}}{n}\right) - \frac{\log x}{n}\right)\]
Alternative 28
Error32.8
Cost39872
\[\left({\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} + {x}^{\left(\frac{0.5}{n}\right)}\right) \cdot \left({\left(\sqrt{1 + x}\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.5}{n}\right)}\right)\]
Alternative 29
Error33.2
Cost39872
\[\sqrt{{\left(1 + x\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}} \cdot \sqrt{{\left(1 + x\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}}\]
Alternative 30
Error50.6
Cost32896
\[{\left({\left(1 + x\right)}^{\left(\sqrt{\frac{1}{n}}\right)}\right)}^{\left(\sqrt{\frac{1}{n}}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\]
Alternative 31
Error55.1
Cost28480
\[\left(\left(\frac{x}{n} + \left(\left(1 + 0.5 \cdot \left(\frac{x}{n} \cdot \frac{x}{n}\right)\right) + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{x}{n}\right)}^{3}\right)\right) + \frac{{x}^{3}}{n} \cdot \left(0.3333333333333333 - \frac{0.5}{n}\right)\right) + \left(\left(x \cdot \frac{x}{n}\right) \cdot -0.5 - e^{\frac{\log x}{n}}\right)\]
Alternative 32
Error35.0
Cost27200
\[\frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{x \cdot n} + \frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{0.5}{n \cdot n} - \frac{0.5}{n}\right)\]
Alternative 33
Error44.5
Cost27072
\[\frac{{\left(1 + x\right)}^{\left(\frac{2}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{2}{n}\right)}}{{x}^{\left(\frac{1}{n}\right)} + {\left(1 + x\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)}}\]
Alternative 34
Error32.8
Cost27072
\[\left({x}^{\left(\frac{0.5}{n}\right)} + {\left(1 + x\right)}^{\left(\frac{0.5}{n}\right)}\right) \cdot \left({\left(1 + x\right)}^{\left(\frac{0.5}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{0.5}{n}\right)}\right)\]
Alternative 35
Error32.8
Cost26368
\[\sqrt[3]{{\left({\left(1 + x\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\right)}^{3}}\]
Alternative 36
Error55.1
Cost22144
\[\left(\left(\left(\frac{x}{n} + \left(\left(1 + 0.5 \cdot \left(\frac{x}{n} \cdot \frac{x}{n}\right)\right) + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{x}{n}\right)}^{3}\right)\right) + \frac{{x}^{3}}{n} \cdot \left(0.3333333333333333 - \frac{0.5}{n}\right)\right) + \left(x \cdot \frac{x}{n}\right) \cdot -0.5\right) - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\]
Alternative 37
Error54.1
Cost14144
\[\left(\left(1 + \frac{x}{n}\right) + \left(x \cdot \frac{x}{n}\right) \cdot \left(\frac{0.5}{n} + -0.5\right)\right) - e^{\frac{\log x}{n}}\]
Alternative 38
Error32.8
Cost13504
\[{\left(1 + x\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\]
Alternative 39
Error55.0
Cost13376
\[\frac{x}{n} + \left(1 - e^{\frac{\log x}{n}}\right)\]
Alternative 40
Error17.5
Cost13248
\[\frac{\log \left(1 + x\right) - \log x}{n}\]
Alternative 41
Error28.5
Cost13248
\[\frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{x \cdot n}\]
Alternative 42
Error44.3
Cost13120
\[1 - e^{\frac{\log x}{n}}\]
Alternative 43
Error50.6
Cost7040
\[\left(1 + \frac{x}{n}\right) - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\]
Alternative 44
Error44.3
Cost6784
\[1 - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\]
Alternative 45
Error39.0
Cost64
\[0\]
Alternative 46
Error56.4
Cost64
\[1\]
Alternative 47
Error61.9
Cost64
\[-1\]

Error

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if x < 67572.211628847814

    1. Initial program 47.1

      \[{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 13.5

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{2}}{{n}^{2}} + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{3}}{{n}^{3}}\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{{n}^{2}} + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\log x}^{3}}{{n}^{3}}\right)\right)}\]

    3. Simplified13.5

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(0.5 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{2}}{n \cdot n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right) + \frac{\log \left(x + 1\right) - \log x}{n}\right) - 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3}\right) + \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n} \cdot -0.5}\]

    4. Simplified13.5

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)}^{3} + 0.5 \cdot \frac{{\log \left(1 + x\right)}^{2}}{n \cdot n}\right) + \frac{\log \left(1 + x\right) - \log x}{n}\right) - 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3}\right) + -0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n}}\]

    if 67572.211628847814 < x

    1. Initial program 20.5

      \[{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 1.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{-1 \cdot \frac{\log \left(\frac{1}{x}\right)}{n}}}{x \cdot n}}\]

    3. Simplified1.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{x \cdot n}}\]

    4. Simplified1.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{x \cdot n}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification6.9

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 67572.21162884781:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3} + 0.5 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{2}}{n \cdot n}\right) + \frac{\log \left(x + 1\right) - \log x}{n}\right) - 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3}\right) + -0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{\frac{\log x}{n}}}{x \cdot n}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021042 
(FPCore (x n)
  :name "2nthrt (problem 3.4.6)"
  :precision binary64
  (- (pow (+ x 1.0) (/ 1.0 n)) (pow x (/ 1.0 n))))