Average Error: 41.2 → 1.0
Time: 6.6s
Precision: binary64
Cost: 7488
\[\frac{e^{x}}{e^{x} - 1}\]
↓
\[\frac{e^{x}}{x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\]
\frac{e^{x}}{e^{x} - 1}
↓
\frac{e^{x}}{x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}
(FPCore (x) :precision binary64 (/ (exp x) (- (exp x) 1.0)))
↓
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (exp x)
  (+
   x
   (*
    (* x x)
    (+ 0.5 (* x (+ 0.16666666666666666 (* x 0.041666666666666664))))))))
double code(double x) {
	return exp(x) / (exp(x) - 1.0);
}
↓
double code(double x) {
	return exp(x) / (x + ((x * x) * (0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664))))));
}

Error

Bits error versus x

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original41.2
Target40.8
Herbie1.0
\[\frac{1}{1 - e^{-x}}\]

Alternatives

Alternative 1
Error41.3
Cost64832
\[\frac{\sqrt[3]{e^{x}} \cdot \sqrt[3]{e^{x}}}{1 + \sqrt{e^{x}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{e^{x}}}{\sqrt{e^{x}} + -1}\]
Alternative 2
Error41.2
Cost45760
\[\frac{1}{\sqrt[3]{e^{x} - 1} \cdot \sqrt[3]{e^{x} - 1}} \cdot \frac{e^{x}}{\sqrt[3]{e^{x} - 1}}\]
Alternative 3
Error41.2
Cost45632
\[\frac{e^{x}}{\sqrt[3]{e^{x} - 1} \cdot \left(\sqrt[3]{e^{x} - 1} \cdot \sqrt[3]{e^{x} - 1}\right)}\]
Alternative 4
Error41.3
Cost32896
\[\frac{e^{x}}{\frac{-1 + {\left(e^{x}\right)}^{3}}{1 + e^{x} \cdot \left(1 + e^{x}\right)}}\]
Alternative 5
Error41.3
Cost32704
\[\frac{1}{1 + \sqrt{e^{x}}} \cdot \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x}} + -1}\]
Alternative 6
Error41.3
Cost32576
\[\frac{e^{x}}{\left(1 + \sqrt{e^{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{e^{x}} + -1\right)}\]
Alternative 7
Error41.4
Cost25920
\[\frac{e^{x}}{\log \left(e^{e^{x} - 1}\right)}\]
Alternative 8
Error41.2
Cost19840
\[\left(1 + e^{x}\right) \cdot \frac{1}{e^{x} - e^{-x}}\]
Alternative 9
Error63.0
Cost19520
\[e^{x - \log \left(e^{x} - 1\right)}\]
Alternative 10
Error41.2
Cost13120
\[\frac{e^{x}}{e^{x} - 1}\]
Alternative 11
Error1.0
Cost7232
\[\frac{e^{x}}{x + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\]
Alternative 12
Error1.2
Cost6976
\[\frac{e^{x}}{x + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5}\]
Alternative 13
Error40.8
Cost6784
\[\frac{1}{1 - e^{-x}}\]
Alternative 14
Error1.7
Cost6592
\[\frac{e^{x}}{x}\]
Alternative 15
Error5.6
Cost1088
\[\frac{1}{x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 - x \cdot 0.041666666666666664\right) - 0.5\right)}\]
Alternative 16
Error42.8
Cost1088
\[\frac{0.25 - \frac{1}{x \cdot x}}{0.5 - \frac{1}{x}} + x \cdot 0.08333333333333333\]
Alternative 17
Error7.4
Cost832
\[\frac{1}{x + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666 + -0.5\right)\right)}\]
Alternative 18
Error11.0
Cost576
\[\frac{1}{x - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5}\]
Alternative 19
Error21.2
Cost576
\[x \cdot 0.08333333333333333 + \left(0.5 + \frac{1}{x}\right)\]
Alternative 20
Error21.3
Cost320
\[0.5 + \frac{1}{x}\]
Alternative 21
Error21.4
Cost192
\[\frac{1}{x}\]
Alternative 22
Error61.4
Cost64
\[1\]
Alternative 23
Error42.2
Cost64
\[0\]
Alternative 24
Error61.9
Cost64
\[-1\]

Error

Derivation

  1. Initial program 41.2

    \[\frac{e^{x}}{e^{x} - 1}\]

  2. Taylor expanded around 0 15.1

    \[\leadsto \frac{e^{x}}{\color{blue}{x + \left(0.5 \cdot {x}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}\right)\right)}}\]

  3. Simplified1.0

    \[\leadsto \frac{e^{x}}{\color{blue}{x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.041666666666666664 \cdot x\right)\right)}}\]

  4. Simplified1.0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}}\]

  5. Final simplification1.0

    \[\leadsto \frac{e^{x}}{x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021042 
(FPCore (x)
  :name "expq2 (section 3.11)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (/ 1.0 (- 1.0 (exp (- x))))

  (/ (exp x) (- (exp x) 1.0)))