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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -5.951936524466467 \cdot 10^{+118}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot -2}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq -4.919411827174503 \cdot 10^{-303}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.7095004368937527 \cdot 10^{-227}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 5.843883136633396 \cdot 10^{+151}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -5.951936524466467 \cdot 10^{+118}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot -2}}\right)\\

\mathbf{elif}\;re \leq -4.919411827174503 \cdot 10^{-303}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\right)\\

\mathbf{elif}\;re \leq 1.7095004368937527 \cdot 10^{-227}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-im\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 5.843883136633396 \cdot 10^{+151}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -5.951936524466467e+118)
   (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (/ (fabs im) (sqrt (* re -2.0)))))
   (if (<= re -4.919411827174503e-303)
     (*
      0.5
      (*
       (sqrt (sqrt 2.0))
       (*
        (sqrt (sqrt 2.0))
        (/ (fabs im) (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))))
     (if (<= re 1.7095004368937527e-227)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im))))
       (if (<= re 5.843883136633396e+151)
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
         (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -5.951936524466467e+118) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0) * (fabs(im) / sqrt(re * -2.0)));
	} else if (re <= -4.919411827174503e-303) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(sqrt(2.0)) * (sqrt(sqrt(2.0)) * (fabs(im) / sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re))));
	} else if (re <= 1.7095004368937527e-227) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * -im);
	} else if (re <= 5.843883136633396e+151) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else {
		tmp = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.3
Target33.2
Herbie17.1
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if re < -5.95193652446646687e118

    1. Initial program 62.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_243962.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_240762.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_248262.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified45.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied *-un-lft-identity_binary64_246545.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

    9. Applied sqrt-prod_binary64_248145.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    10. Applied sqrt-prod_binary64_248145.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    11. Applied times-frac_binary64_247146.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

    12. Simplified46.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

    13. Simplified43.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    14. Taylor expanded around -inf 9.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\right)\]

    15. Simplified9.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{re \cdot -2}}}\right)\]

    if -5.95193652446646687e118 < re < -4.9194118271745028e-303

    1. Initial program 39.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_243938.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_240738.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_248238.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified30.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied *-un-lft-identity_binary64_246530.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

    9. Applied sqrt-prod_binary64_248130.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    10. Applied sqrt-prod_binary64_248130.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    11. Applied times-frac_binary64_247130.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

    12. Simplified30.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

    13. Simplified20.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]
    14. Using strategy rm

    15. Applied add-sqr-sqrt_binary64_248720.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right)} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

    16. Applied associate-*l*_binary64_240620.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\right)}\]

    17. Simplified20.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right)}\right)\]

    if -4.9194118271745028e-303 < re < 1.7095004368937527e-227

    1. Initial program 28.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 34.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right)}}\]

    3. Simplified34.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-im\right)}}\]

    if 1.7095004368937527e-227 < re < 5.84388313663339647e151

    1. Initial program 17.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 5.84388313663339647e151 < re

    1. Initial program 62.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 8.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{re} \cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{2}\right)}\]

    3. Simplified7.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{re}\right)}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification17.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -5.951936524466467 \cdot 10^{+118}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot -2}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq -4.919411827174503 \cdot 10^{-303}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.7095004368937527 \cdot 10^{-227}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 5.843883136633396 \cdot 10^{+151}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021027 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))