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Precision: binary64
\[im > 0\]
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.0117735354501902 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.8009108557666285 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -3.939109501128109 \cdot 10^{-50}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.5402852044913168 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -1.0117735354501902 \cdot 10^{+102}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -1.8009108557666285 \cdot 10^{+17}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -3.939109501128109 \cdot 10^{-50}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 1.5402852044913168 \cdot 10^{-10}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -1.0117735354501902e+102)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (* re -2.0))))
   (if (<= re -1.8009108557666285e+17)
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re))))
     (if (<= re -3.939109501128109e-50)
       (*
        0.5
        (sqrt
         (*
          2.0
          (*
           (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))
           (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))))
       (if (<= re 1.5402852044913168e-10)
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re))))
         (* 0.5 (* (* (sqrt 0.5) (* im (sqrt 2.0))) (sqrt (/ 1.0 re)))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -1.0117735354501902e+102) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re * -2.0));
	} else if (re <= -1.8009108557666285e+17) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	} else if (re <= -3.939109501128109e-50) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re) * sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re)));
	} else if (re <= 1.5402852044913168e-10) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	} else {
		tmp = 0.5 * ((sqrt(0.5) * (im * sqrt(2.0))) * sqrt(1.0 / re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -1.01177353545019021e102

    1. Initial program 51.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 10.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    3. Simplified10.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -2\right)}}\]

    if -1.01177353545019021e102 < re < -180091085576662850 or -3.9391095011281089e-50 < re < 1.5402852044913168e-10

    1. Initial program 28.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 15.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]

    if -180091085576662850 < re < -3.9391095011281089e-50

    1. Initial program 16.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt_binary64_44116.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}}\]

    if 1.5402852044913168e-10 < re

    1. Initial program 56.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 16.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification14.9

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.0117735354501902 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.8009108557666285 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -3.939109501128109 \cdot 10^{-50}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.5402852044913168 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021027 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  :pre (> im 0.0)
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))