math.sqrt on complex, real part

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Precision: binary64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.3361067715788965 \cdot 10^{+93}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq -3.4201707617626984 \cdot 10^{-214}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{2} \cdot \left|im\right|\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.1846958944297933 \cdot 10^{-243}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 4.484644676042966 \cdot 10^{+96}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -1.3361067715788965e+93)
   (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (/ (fabs im) (sqrt (- (- re) re)))))
   (if (<= re -3.4201707617626984e-214)
     (*
      0.5
      (*
       (* (sqrt 2.0) (fabs im))
       (/ 1.0 (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
     (if (<= re 3.1846958944297933e-243)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- re im))))
       (if (<= re 4.484644676042966e+96)
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
         (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re))))))))

C

double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -1.3361067715788965e+93) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0) * (fabs(im) / sqrt(-re - re)));
	} else if (re <= -3.4201707617626984e-214) {
		tmp = 0.5 * ((sqrt(2.0) * fabs(im)) * (1.0 / sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re)));
	} else if (re <= 3.1846958944297933e-243) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re - im));
	} else if (re <= 4.484644676042966e+96) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else {
		tmp = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	39.1
Target	34.2
Herbie	18.1

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if re < -1.33610677157889653e93

   1. Initial program 61.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64_2780 61.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/_binary64_2748 61.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div_binary64_2823 61.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 44.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied *-un-lft-identity_binary64_2806 44.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   9. Applied sqrt-prod_binary64_2822 44.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   10. Applied sqrt-prod_binary64_2822 44.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   11. Applied times-frac_binary64_2812 44.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

   12. Simplified 44.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

   13. Simplified 41.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

   14. Taylor expanded around -inf 10.9

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{-1 \cdot re} - re}}\right)\]

   15. Simplified 10.9

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{\left(-re\right)} - re}}\right)\]

   if -1.33610677157889653e93 < re < -3.4201707617626984e-214

   1. Initial program 40.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64_2780 40.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/_binary64_2748 40.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div_binary64_2823 40.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 31.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied *-un-lft-identity_binary64_2806 31.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   9. Applied sqrt-prod_binary64_2822 31.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   10. Applied sqrt-prod_binary64_2822 31.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   11. Applied times-frac_binary64_2812 31.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

   12. Simplified 31.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

   13. Simplified 18.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]
   14. Using strategy rm

   15. Applied div-inv_binary64_2803 18.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\left(\left|im\right| \cdot \frac{1}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\right)\]

   16. Applied associate-*r*_binary64_2746 18.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt{2} \cdot \left|im\right|\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

   17. Simplified 18.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left(\left|im\right| \cdot \sqrt{2}\right)} \cdot \frac{1}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

   if -3.4201707617626984e-214 < re < 3.1846958944297933e-243

   1. Initial program 32.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around -inf 33.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{-1 \cdot im} + re\right)}\]

   if 3.1846958944297933e-243 < re < 4.48464467604296578e96

   1. Initial program 20.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   if 4.48464467604296578e96 < re

   1. Initial program 50.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 11.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{re} \cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{2}\right)}\]

   3. Simplified 10.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{re}\right)}\]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 18.1

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.3361067715788965 \cdot 10^{+93}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq -3.4201707617626984 \cdot 10^{-214}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{2} \cdot \left|im\right|\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.1846958944297933 \cdot 10^{-243}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 4.484644676042966 \cdot 10^{+96}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021025 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))