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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.3575803483129278 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 7.1702286480625436 \cdot 10^{-301}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.700198478212555 \cdot 10^{+134}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -1.3575803483129278 \cdot 10^{+154}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 7.1702286480625436 \cdot 10^{-301}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\right)\\

\mathbf{elif}\;re \leq 1.700198478212555 \cdot 10^{+134}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -1.3575803483129278e+154)
   (* 0.5 (/ (sqrt (* 2.0 (* im im))) (sqrt (- (- re) re))))
   (if (<= re 7.1702286480625436e-301)
     (*
      0.5
      (*
       (/ (sqrt 2.0) (sqrt (sqrt (- (sqrt (+ (* im im) (* re re))) re))))
       (/ (fabs im) (sqrt (sqrt (- (sqrt (+ (* im im) (* re re))) re))))))
     (if (<= re 1.700198478212555e+134)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* im im) (* re re)))))))
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re re))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -1.3575803483129278e+154) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0 * (im * im)) / sqrt(-re - re));
	} else if (re <= 7.1702286480625436e-301) {
		tmp = 0.5 * ((sqrt(2.0) / sqrt(sqrt(sqrt((im * im) + (re * re)) - re))) * (fabs(im) / sqrt(sqrt(sqrt((im * im) + (re * re)) - re))));
	} else if (re <= 1.700198478212555e+134) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((im * im) + (re * re))));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Target

Original38.7
Target33.5
Herbie18.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -1.3575803483129278e154

    1. Initial program 64.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_346264.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_343064.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_350564.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified51.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    7. Taylor expanded around -inf 20.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{-1 \cdot re} - re}}\]

    if -1.3575803483129278e154 < re < 7.1702286480625436e-301

    1. Initial program 40.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_346240.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_343040.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_350540.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified30.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied add-sqr-sqrt_binary64_351030.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\]

    9. Applied sqrt-prod_binary64_350430.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    10. Applied times-frac_binary64_349430.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)}\]

    11. Simplified20.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}}\right)\]

    if 7.1702286480625436e-301 < re < 1.70019847821255504e134

    1. Initial program 19.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 1.70019847821255504e134 < re

    1. Initial program 57.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 8.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification18.7

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.3575803483129278 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 7.1702286480625436 \cdot 10^{-301}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.700198478212555 \cdot 10^{+134}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021024 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))