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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -4.986259634894712 \cdot 10^{-51}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -2.0685955733607066 \cdot 10^{-292}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.395509735790332 \cdot 10^{-172}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.6694765103601103 \cdot 10^{-44}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;im \leq -4.986259634894712 \cdot 10^{-51}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \leq -2.0685955733607066 \cdot 10^{-292}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\right)\\

\mathbf{elif}\;im \leq 1.395509735790332 \cdot 10^{-172}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\

\mathbf{elif}\;im \leq 1.6694765103601103 \cdot 10^{-44}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im -4.986259634894712e-51)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- re im))))
   (if (<= im -2.0685955733607066e-292)
     (*
      0.5
      (*
       (sqrt 2.0)
       (/
        (fabs im)
        (sqrt
         (-
          (*
           (sqrt (sqrt (+ (* re re) (* im im))))
           (sqrt (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))
          re)))))
     (if (<= im 1.395509735790332e-172)
       (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re)))
       (if (<= im 1.6694765103601103e-44)
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re)))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= -4.986259634894712e-51) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re - im));
	} else if (im <= -2.0685955733607066e-292) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0) * (fabs(im) / sqrt((sqrt(sqrt((re * re) + (im * im))) * sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)))) - re)));
	} else if (im <= 1.395509735790332e-172) {
		tmp = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
	} else if (im <= 1.6694765103601103e-44) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.6
Target33.6
Herbie23.9
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if im < -4.986259634894712e-51

    1. Initial program 40.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 16.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{-1 \cdot im} + re\right)}\]

    3. Simplified16.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(-im\right)} + re\right)}\]

    if -4.986259634894712e-51 < im < -2.0685955733607066e-292

    1. Initial program 35.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_243951.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_240751.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_248251.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified42.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied *-un-lft-identity_binary64_246542.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

    9. Applied sqrt-prod_binary64_248142.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    10. Applied sqrt-prod_binary64_248142.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    11. Applied times-frac_binary64_247142.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

    12. Simplified42.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

    13. Simplified35.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]
    14. Using strategy rm

    15. Applied add-sqr-sqrt_binary64_248735.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re}}\right)\]

    if -2.0685955733607066e-292 < im < 1.39550973579033192e-172

    1. Initial program 42.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 35.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{re} \cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{2}\right)}\]

    3. Simplified34.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{re}\right)}\]

    if 1.39550973579033192e-172 < im < 1.66947651036011032e-44

    1. Initial program 30.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 1.66947651036011032e-44 < im

    1. Initial program 40.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 16.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification23.9

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -4.986259634894712 \cdot 10^{-51}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -2.0685955733607066 \cdot 10^{-292}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \frac{\left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.395509735790332 \cdot 10^{-172}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.6694765103601103 \cdot 10^{-44}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021022 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))