math.cos on complex, imaginary part

Average Error: 43.5 → 0.7

Time: 16.7s

Precision: binary64

Cost: 33280

Math

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

↓

\[\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (-
  (* (sin re) (- (* (pow im 3.0) -0.16666666666666666) im))
  (*
   (sin re)
   (+
    (* (pow im 5.0) 0.008333333333333333)
    (* (pow im 7.0) 0.0001984126984126984)))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return (sin(re) * ((pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im)) - (sin(re) * ((pow(im, 5.0) * 0.008333333333333333) + (pow(im, 7.0) * 0.0001984126984126984)));
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	43.5
Target	0.3
Herbie	0.7

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Alternatives

Alternative 1
Error	33.2
Cost	91328

\[\left(\sqrt[3]{\sin re} \cdot \sqrt[3]{\sin re}\right) \cdot \left(\left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \cdot \left(\sqrt[3]{{\sin re}^{0.6666666666666666}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sin re}}\right)\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 2
Error	33.0
Cost	91264

\[\left(\sqrt[3]{\sin re} \cdot \sqrt[3]{\sin re}\right) \cdot \left(\left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{\sin re}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sin re}}\right)\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 3
Error	1.7
Cost	79232

\[\sqrt[3]{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \cdot \sqrt[3]{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)}\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 4
Error	48.9
Cost	72256

\[\left(\sqrt{\sin re} \cdot \sqrt{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im}\right) \cdot \left(\sqrt{\sin re} \cdot \sqrt{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im}\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 5
Error	42.9
Cost	66752

\[\frac{\sin re \cdot \left({\left({im}^{3}\right)}^{3} \cdot -0.004629629629629629 - {im}^{3}\right)}{im \cdot im + \left(\left({im}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left({im}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right) + im \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 6
Error	33.2
Cost	65600

\[\left(\left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \cdot \sqrt[3]{\sin re}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sin re} \cdot {\sin re}^{0.3333333333333333}\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 7
Error	33.2
Cost	65600

\[\left(\left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \cdot {\sin re}^{0.3333333333333333}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sin re} \cdot \sqrt[3]{\sin re}\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 8
Error	33.3
Cost	65536

\[\left(\left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \cdot {\sin re}^{0.6666666666666666}\right) \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{\sin re}\right)}^{2}} - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 9
Error	1.6
Cost	65536

\[\left(\left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \cdot \sqrt[3]{\sin re}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sin re} \cdot \sqrt[3]{\sin re}\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 10
Error	43.5
Cost	65152

\[\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sqrt[3]{e^{-im} - e^{im}} \cdot \left(\sqrt[3]{e^{-im} - e^{im}} \cdot \sqrt[3]{e^{-im} - e^{im}}\right)\right)\]

Alternative 11
Error	26.0
Cost	59456

\[\sqrt{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \cdot \sqrt{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 12
Error	5.5
Cost	59136

\[{\left({\sin re}^{2}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \left(\left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \cdot \sqrt[3]{\sin re}\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 13
Error	34.8
Cost	59136

\[\sqrt[3]{{\sin re}^{2}} \cdot \left(\left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \cdot {\sin re}^{0.3333333333333333}\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 14
Error	4.9
Cost	59072

\[\left(\left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \cdot \sqrt[3]{\sin re}\right) \cdot \sqrt[3]{{\sin re}^{2}} - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 15
Error	1.6
Cost	59072

\[\left(\left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \cdot \sqrt[3]{\sin re}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{\sin re}\right)}^{2} - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 16
Error	43.6
Cost	58688

\[\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \frac{{\left(e^{im}\right)}^{-3} - {\left(e^{im}\right)}^{3}}{{\left(e^{im}\right)}^{-2} + \left({\left(e^{im}\right)}^{2} + 1\right)}\]

Alternative 17
Error	43.5
Cost	58432

\[\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(\sqrt{e^{-im}} + \sqrt{e^{im}}\right) \cdot \left(\sqrt{e^{-im}} - \sqrt{e^{im}}\right)\right)\]

Alternative 18
Error	32.7
Cost	52928

\[\sqrt{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im} \cdot \left(\sin re \cdot \sqrt{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im}\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 19
Error	33.3
Cost	52672

\[\sqrt[3]{\sin re} \cdot \left(\left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \cdot {\sin re}^{0.6666666666666666}\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 20
Error	33.3
Cost	52672

\[\left(\left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \cdot \sqrt[3]{\sin re}\right) \cdot {\sin re}^{0.6666666666666666} - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 21
Error	32.7
Cost	52608

\[\sqrt{\sin re} \cdot \left(\sqrt{\sin re} \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 22
Error	33.6
Cost	46144

\[\sqrt[3]{{\left(\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)\right)}^{3}} - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 23
Error	43.6
Cost	45696

\[\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \frac{{\left(e^{im}\right)}^{-2} - {\left(e^{im}\right)}^{2}}{e^{-im} + e^{im}}\]

Alternative 24
Error	44.8
Cost	45632

\[\sqrt{e^{-im} - e^{im}} \cdot \left(\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \sqrt{e^{-im} - e^{im}}\right)\]

Alternative 25
Error	22.6
Cost	40256

\[\frac{\sin re \cdot \left(im \cdot im + {im}^{6} \cdot -0.027777777777777776\right)}{{im}^{3} \cdot 0.16666666666666666 - im} - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 26
Error	22.6
Cost	40256

\[\frac{\sin re \cdot \left({im}^{6} \cdot 0.027777777777777776 - im \cdot im\right)}{im + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666} - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 27
Error	44.8
Cost	38784

\[\log \left(\sqrt{e^{\sin re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)}}\right)\]

Alternative 28
Error	43.5
Cost	32576

\[\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \sqrt[3]{{\left(e^{-im} - e^{im}\right)}^{3}}\]

Alternative 29
Error	44.9
Cost	32512

\[e^{\log \left(\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)}\]

Alternative 30
Error	44.8
Cost	32512

\[\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot e^{\log \left(e^{-im} - e^{im}\right)}\]

Alternative 31
Error	43.9
Cost	32512

\[\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \log \left(e^{e^{-im} - e^{im}}\right)\]

Alternative 32
Error	0.7
Cost	27072

\[\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right) - im\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Alternative 33
Error	0.8
Cost	26560

\[\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)\]

Alternative 34
Error	43.5
Cost	26304

\[\frac{\sin re \cdot 0.5}{e^{im}} + e^{im} \cdot \left(\sin re \cdot -0.5\right)\]

Alternative 35
Error	43.5
Cost	19712

\[\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

Alternative 36
Error	0.9
Cost	13568

\[\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)\]

Alternative 37
Error	0.9
Cost	13312

\[\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)\]

Alternative 38
Error	44.8
Cost	13312

\[re \cdot \left(0.5 \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)\]

Alternative 39
Error	1.2
Cost	6848

\[\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(im \cdot -2\right)\]

Alternative 40
Error	1.2
Cost	6656

\[\sin re \cdot \left(-im\right)\]

Alternative 41
Error	61.8
Cost	64

\[1\]

Alternative 42
Error	45.9
Cost	64

\[0\]

Alternative 43
Error	61.7
Cost	64

\[-1\]

Derivation

1. Initial program 43.5

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

2. Taylor expanded around 0 0.7

   \[\leadsto \color{blue}{-\left(0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right) + \left(\sin re \cdot im + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + 0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)\right)\right)}\]

3. Simplified 0.7

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-im\right) - {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)}\]

4. Simplified 0.7

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)}\]

5. Final simplification 0.7

   \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021022 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))