math.sin on complex, imaginary part

Average Error: 58.2 → 0.6

Time: 18.2s

Precision: binary64

Cost: 27008

Math

\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\]

↓

\[\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (* (cos re) 0.5)
  (-
   (-
    (- (* im -2.0) (* (pow im 3.0) 0.3333333333333333))
    (* (pow im 5.0) 0.016666666666666666))
   (* 0.0003968253968253968 (pow im 7.0)))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp(0.0 - im) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return (cos(re) * 0.5) * ((((im * -2.0) - (pow(im, 3.0) * 0.3333333333333333)) - (pow(im, 5.0) * 0.016666666666666666)) - (0.0003968253968253968 * pow(im, 7.0)));
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	58.2
Target	0.2
Herbie	0.6

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Alternatives

Alternative 1
Error	41.6
Cost	101184

\[\frac{\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left({\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right)}^{3} - {\left(0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)}^{3}\right)}{\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) \cdot \left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) + \left(\left(0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right) \cdot \left(0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right) + \left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) \cdot \left(0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\right)}\]

Alternative 2
Error	2.0
Cost	100352

\[\sqrt[3]{\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)}\right)\]

Alternative 3
Error	1.5
Cost	97408

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \left(\left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \sqrt[3]{\cos re}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos re}}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos re}}\right)}^{4}\right)\]

Alternative 4
Error	2.0
Cost	87040

\[\sqrt[3]{\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}} \cdot \left(\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}}\right)\right)\]

Alternative 5
Error	16.5
Cost	84544

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \left(\left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \sqrt[3]{\cos re}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\cos re} \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{\cos re}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\cos re}}\right)\right)\]

Alternative 6
Error	16.6
Cost	78144

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \left(\left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \sqrt[3]{\cos re}\right) \cdot \left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos re}}\right)}^{4} \cdot \sqrt[3]{{\cos re}^{0.6666666666666666}}\right)\]

Alternative 7
Error	1.5
Cost	78080

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \left(\left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \sqrt[3]{\cos re}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos re}} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\cos re}}\right)}^{5}\right)\]

Alternative 8
Error	16.5
Cost	78080

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \left(\left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \sqrt[3]{\cos re}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{\cos re}} \cdot {\left(\sqrt{\sqrt[3]{\cos re}}\right)}^{3}\right)\]

Alternative 9
Error	2.0
Cost	72512

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \sqrt[3]{\cos re \cdot \left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\cos re \cdot \left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos re \cdot \left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)}\right)\]

Alternative 10
Error	32.6
Cost	66880

\[\sqrt{\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)} \cdot \sqrt{\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)}\]

Alternative 11
Error	58.2
Cost	65152

\[\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sqrt[3]{e^{-im} - e^{im}} \cdot \left(\sqrt[3]{e^{-im} - e^{im}} \cdot \sqrt[3]{e^{-im} - e^{im}}\right)\right)\]

Alternative 12
Error	28.9
Cost	61120

\[\frac{\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) \cdot \left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) + {im}^{14} \cdot -1.5747039556563367 \cdot 10^{-07}\right)}{\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) + 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}}\]

Alternative 13
Error	32.2
Cost	60224

\[\sqrt{\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}} \cdot \left(\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \sqrt{\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}}\right)\]

Alternative 14
Error	41.7
Cost	60032

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \frac{\cos re \cdot \left({im}^{3} + {\left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)}^{3}\right)}{im \cdot im + \left(\left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right) - im \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)}\]

Alternative 15
Error	2.1
Cost	59456

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \sqrt[3]{im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333} \cdot \left(\cos re \cdot \left(\sqrt[3]{im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333} \cdot \sqrt[3]{im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333}\right)\right)\]

Alternative 16
Error	16.4
Cost	58880

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \left(\left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \sqrt[3]{\cos re}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\cos re} \cdot {\cos re}^{0.3333333333333333}\right)\]

Alternative 17
Error	1.2
Cost	58816

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \left(\sqrt[3]{\cos re} \cdot \sqrt[3]{\cos re}\right) \cdot \left(\left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \sqrt[3]{\cos re}\right)\]

Alternative 18
Error	58.3
Cost	58688

\[\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \frac{{\left(e^{im}\right)}^{-3} - {\left(e^{im}\right)}^{3}}{{\left(e^{im}\right)}^{-2} + \left(1 + {\left(e^{im}\right)}^{2}\right)}\]

Alternative 19
Error	58.2
Cost	58432

\[\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(\sqrt{e^{-im}} + \sqrt{e^{im}}\right) \cdot \left(\sqrt{e^{-im}} - \sqrt{e^{im}}\right)\right)\]

Alternative 20
Error	32.4
Cost	52736

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \sqrt{\cos re \cdot \left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)} \cdot \sqrt{\cos re \cdot \left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)}\]

Alternative 21
Error	0.9
Cost	52416

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \left(\left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \sqrt[3]{\cos re}\right) \cdot {\left({\cos re}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}\]

Alternative 22
Error	1.0
Cost	52352

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \left(\left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \sqrt[3]{\cos re}\right) \cdot \sqrt[3]{{\cos re}^{2}}\]

Alternative 23
Error	1.2
Cost	52352

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \left(\left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \sqrt[3]{\cos re}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{\cos re}\right)}^{2}\]

Alternative 24
Error	32.9
Cost	46208

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \sqrt{im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333} \cdot \left(\cos re \cdot \sqrt{im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333}\right)\]

Alternative 25
Error	16.4
Cost	45952

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \left(\left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \sqrt[3]{\cos re}\right) \cdot {\cos re}^{0.6666666666666666}\]

Alternative 26
Error	16.3
Cost	45888

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \sqrt{\cos re} \cdot \left(\left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right) \cdot \sqrt{\cos re}\right)\]

Alternative 27
Error	58.2
Cost	45696

\[\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \frac{{\left(e^{im}\right)}^{-2} - {\left(e^{im}\right)}^{2}}{e^{-im} + e^{im}}\]

Alternative 28
Error	59.5
Cost	45632

\[\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\sqrt{e^{-im} - e^{im}} \cdot \sqrt{e^{-im} - e^{im}}\right)\]

Alternative 29
Error	31.3
Cost	41152

\[\left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot 0.5 + {im}^{7} \cdot 9.92063492063492 \cdot 10^{-05}\right) + \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.004166666666666667 + {im}^{3} \cdot 0.08333333333333333\right) - \left({im}^{3} \cdot 0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + \left(im + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\]

Alternative 30
Error	39.6
Cost	39872

\[\sqrt[3]{{\left(\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\right)}^{3}}\]

Alternative 31
Error	39.7
Cost	39424

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \sqrt[3]{{\left(\cos re \cdot \left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)}^{3}}\]

Alternative 32
Error	58.7
Cost	38784

\[\log \left(\sqrt{e^{\cos re \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)}}\right)\]

Alternative 33
Error	29.0
Cost	33536

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \frac{\cos re \cdot \left(im \cdot im + {im}^{10} \cdot -6.944444444444444 \cdot 10^{-05}\right)}{im - {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333}\]

Alternative 34
Error	58.2
Cost	32576

\[\sqrt[3]{{\left(\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)}^{3}}\]

Alternative 35
Error	59.5
Cost	32512

\[\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot e^{\log \left(e^{-im} - e^{im}\right)}\]

Alternative 36
Error	58.6
Cost	32512

\[\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \log \left(e^{e^{-im} - e^{im}}\right)\]

Alternative 37
Error	59.5
Cost	32512

\[e^{\log \left(\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\right)}\]

Alternative 38
Error	31.3
Cost	27264

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \left(\left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right) - \left(re \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot 0.5 + {im}^{5} \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\]

Alternative 39
Error	0.7
Cost	26560

\[{im}^{3} \cdot \left(\cos re \cdot -0.16666666666666666\right) - \cos re \cdot \left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)\]

Alternative 40
Error	58.2
Cost	26304

\[\frac{\cos re \cdot 0.5}{e^{im}} + -0.5 \cdot \left(\cos re \cdot e^{im}\right)\]

Alternative 41
Error	0.6
Cost	20800

\[\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\]

Alternative 42
Error	28.1
Cost	20480

\[0.5 \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\]

Alternative 43
Error	0.7
Cost	20352

\[\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)\right) - \cos re \cdot \left(im + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)\]

Alternative 44
Error	0.7
Cost	20288

\[\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right)\]

Alternative 45
Error	58.2
Cost	19712

\[\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

Alternative 46
Error	0.8
Cost	13568

\[\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)\]

Alternative 47
Error	0.8
Cost	13312

\[\cos re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)\]

Alternative 48
Error	59.3
Cost	13184

\[0.5 \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

Alternative 49
Error	1.2
Cost	6848

\[\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(im \cdot -2\right)\]

Alternative 50
Error	1.2
Cost	6656

\[\cos re \cdot \left(-im\right)\]

Alternative 51
Error	61.6
Cost	64

\[1\]

Alternative 52
Error	60.6
Cost	64

\[0\]

Alternative 53
Error	61.5
Cost	64

\[-1\]

Derivation

1. Initial program 58.2

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\]

2. Simplified 58.2

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)}\]

3. Taylor expanded around 0 0.6

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7} + \left(0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {im}^{3} + 2 \cdot im\right)\right)\right)\right)}\]

4. Simplified 0.6

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(im \cdot -2 - 0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right) - 0.016666666666666666 \cdot {im}^{5}\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)}\]

5. Simplified 0.6

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)}\]

6. Final simplification 0.6

   \[\leadsto \left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot -2 - {im}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) - {im}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) - 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021022 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))