math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch

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Precision: binary64

\[im > 0\]

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 6.909853240899817 \cdot 10^{-84}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 2.2043289817594568 \cdot 10^{-82}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 1.2115803915269867 \cdot 10^{+71}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) 0.0)
   (* 0.5 (* (* (sqrt 0.5) (* im (sqrt 2.0))) (sqrt (/ 1.0 re))))
   (if (<=
        (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))
        6.909853240899817e-84)
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (* re -2.0))))
     (if (<=
          (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))
          2.2043289817594568e-82)
       (* 0.5 (* (* (sqrt 0.5) (* im (sqrt 2.0))) (sqrt (/ 1.0 re))))
       (if (<=
            (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))
            1.2115803915269867e+71)
         (* (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) 0.5)
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) <= 0.0) {
		tmp = 0.5 * ((sqrt(0.5) * (im * sqrt(2.0))) * sqrt(1.0 / re));
	} else if (sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) <= 6.909853240899817e-84) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re * -2.0));
	} else if (sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) <= 2.2043289817594568e-82) {
		tmp = 0.5 * ((sqrt(0.5) * (im * sqrt(2.0))) * sqrt(1.0 / re));
	} else if (sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) <= 1.2115803915269867e+71) {
		tmp = sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) * 0.5;
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if (sqrt.f64 (*.f64 2 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re))) < 0.0 or 6.9098532408998167e-84 < (sqrt.f64 (*.f64 2 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re))) < 2.204328981759457e-82

   1. Initial program 58.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 1.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)}\]

   if 0.0 < (sqrt.f64 (*.f64 2 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re))) < 6.9098532408998167e-84

   1. Initial program 54.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around -inf 35.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

   if 2.204328981759457e-82 < (sqrt.f64 (*.f64 2 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re))) < 1.2115803915269867e71

   1. Initial program 0.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   if 1.2115803915269867e71 < (sqrt.f64 (*.f64 2 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re)))

   1. Initial program 60.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 28.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 15.2

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 6.909853240899817 \cdot 10^{-84}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 2.2043289817594568 \cdot 10^{-82}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 1.2115803915269867 \cdot 10^{+71}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021019 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  :pre (> im 0.0)
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))