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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -7.802120309188862 \cdot 10^{+71}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{re \cdot -2}}{\left|im\right|}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -8.72945174690765 \cdot 10^{-278}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\left|im\right|}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.6083228972730953 \cdot 10^{+78}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -7.802120309188862 \cdot 10^{+71}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{re \cdot -2}}{\left|im\right|}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -8.72945174690765 \cdot 10^{-278}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\left|im\right|}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 2.6083228972730953 \cdot 10^{+78}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -7.802120309188862e+71)
   (* 0.5 (/ (sqrt 2.0) (/ (sqrt (* re -2.0)) (fabs im))))
   (if (<= re -8.72945174690765e-278)
     (*
      0.5
      (/
       (sqrt 2.0)
       (/ (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)) (fabs im))))
     (if (<= re 2.6083228972730953e+78)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re re))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -7.802120309188862e+71) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0) / (sqrt(re * -2.0) / fabs(im)));
	} else if (re <= -8.72945174690765e-278) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0) / (sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re) / fabs(im)));
	} else if (re <= 2.6083228972730953e+78) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Target

Original38.6
Target33.9
Herbie17.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -7.8021203091888617e71

    1. Initial program 59.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_243959.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_240759.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_248259.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified43.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod_binary64_248143.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    9. Applied associate-/l*_binary64_241043.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\sqrt{im \cdot im}}}}\]

    10. Simplified39.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\left|im\right|}}}\]

    11. Taylor expanded around -inf 12.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}{\left|im\right|}}\]

    12. Simplified12.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{\color{blue}{re \cdot -2}}}{\left|im\right|}}\]

    if -7.8021203091888617e71 < re < -8.7294517469076501e-278

    1. Initial program 37.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_243937.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_240737.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_248237.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified30.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod_binary64_248130.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    9. Applied associate-/l*_binary64_241030.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\sqrt{im \cdot im}}}}\]

    10. Simplified20.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\left|im\right|}}}\]

    if -8.7294517469076501e-278 < re < 2.60832289727309527e78

    1. Initial program 22.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 2.60832289727309527e78 < re

    1. Initial program 48.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 10.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification17.7

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -7.802120309188862 \cdot 10^{+71}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{re \cdot -2}}{\left|im\right|}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -8.72945174690765 \cdot 10^{-278}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\left|im\right|}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.6083228972730953 \cdot 10^{+78}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021015 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))