Average Error: 0.1 → 0.1
Time: 2.3min
Precision: binary64
Cost: 7104
\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\]
↓
\[a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand + -0.3333333333333333\right)\]
\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)
↓
a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand + -0.3333333333333333\right)
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))
↓
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (+
  a
  (+
   (* (* 0.3333333333333333 (sqrt (- a 0.3333333333333333))) rand)
   -0.3333333333333333)))
double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt(9.0 * (a - (1.0 / 3.0)))) * rand));
}
↓
double code(double a, double rand) {
	return a + (((0.3333333333333333 * sqrt(a - 0.3333333333333333)) * rand) + -0.3333333333333333);
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus rand

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Alternatives

Alternative 1
Error0.2
Cost7104
\[\left(a - 0.3333333333333333\right) + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)\]
Alternative 2
Error0.8
Cost6976
\[\left(a - 0.3333333333333333\right) + rand \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a}\right)\]
Alternative 3
Error5.8
Cost7176
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -2.5723004570812406 \cdot 10^{+100} \lor \neg \left(rand \leq 8.955608226427374 \cdot 10^{+96}\right):\\ \;\;\;\;\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array}\]
Alternative 4
Error5.8
Cost7176
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -2.420867506733065 \cdot 10^{+100} \lor \neg \left(rand \leq 8.955608226427374 \cdot 10^{+96}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array}\]
Alternative 5
Error18.7
Cost192
\[a - 0.3333333333333333\]
Alternative 6
Error19.4
Cost64
\[a\]
Alternative 7
Error63.0
Cost64
\[-0.3333333333333333\]

Error

Derivation

  1. Initial program 0.1

    \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\]

  2. Simplified0.1

    \[\leadsto \color{blue}{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot 9}}\right)}\]

  3. Taylor expanded around 0 0.2

    \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + a\right) - 0.3333333333333333}\]

  4. Simplified0.2

    \[\leadsto \color{blue}{\left(a - 0.3333333333333333\right) + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)}\]
  5. Using strategy rm

  6. Applied associate-*r*_binary64_10410.1

    \[\leadsto \left(a - 0.3333333333333333\right) + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand}\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied sub-neg_binary64_10940.1

    \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-0.3333333333333333\right)\right)} + \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand\]

  9. Applied associate-+l+_binary64_10340.1

    \[\leadsto \color{blue}{a + \left(\left(-0.3333333333333333\right) + \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand\right)}\]

  10. Simplified0.1

    \[\leadsto a + \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand + -0.3333333333333333\right)}\]

  11. Simplified0.1

    \[\leadsto \color{blue}{a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand + -0.3333333333333333\right)}\]

  12. Final simplification0.1

    \[\leadsto a + \left(\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand + -0.3333333333333333\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021014 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))