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Precision: binary64
\[im > 0\]
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -6.500985051720089 \cdot 10^{+126}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -5.707305022353321 \cdot 10^{-43}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 6.477992946618128 \cdot 10^{+80}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{re + im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{re + re}}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -6.500985051720089 \cdot 10^{+126}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -5.707305022353321 \cdot 10^{-43}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 6.477992946618128 \cdot 10^{+80}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{re + im}}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{re + re}}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -6.500985051720089e+126)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (* re -2.0))))
   (if (<= re -5.707305022353321e-43)
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
     (if (<= re 6.477992946618128e+80)
       (* 0.5 (/ (* im (sqrt 2.0)) (sqrt (+ re im))))
       (* 0.5 (/ (* im (sqrt 2.0)) (sqrt (+ re re))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -6.500985051720089e+126) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re * -2.0));
	} else if (re <= -5.707305022353321e-43) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
	} else if (re <= 6.477992946618128e+80) {
		tmp = 0.5 * ((im * sqrt(2.0)) / sqrt(re + im));
	} else {
		tmp = 0.5 * ((im * sqrt(2.0)) / sqrt(re + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -6.5009850517200892e126

    1. Initial program 56.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 9.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    3. Simplified9.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -2\right)}}\]

    if -6.5009850517200892e126 < re < -5.707305022353321e-43

    1. Initial program 16.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    if -5.707305022353321e-43 < re < 6.47799294661812758e80

    1. Initial program 31.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--_binary64_39435.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_36135.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_43635.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified31.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    7. Simplified31.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]

    8. Taylor expanded around 0 26.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\]

    9. Taylor expanded around 0 14.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{re + \color{blue}{im}}}\]

    if 6.47799294661812758e80 < re

    1. Initial program 60.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--_binary64_39460.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_36160.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_43660.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified42.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    7. Simplified42.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]

    8. Taylor expanded around 0 38.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\]

    9. Taylor expanded around inf 11.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{re + \color{blue}{re}}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification13.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -6.500985051720089 \cdot 10^{+126}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -5.707305022353321 \cdot 10^{-43}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 6.477992946618128 \cdot 10^{+80}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{re + im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{re + re}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021009 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  :pre (> im 0.0)
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))