math.sqrt on complex, real part

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Precision: binary64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -1.8027506436573165 \cdot 10^{+31}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -3.4993194957776107 \cdot 10^{-161}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -1.1367816435235204 \cdot 10^{-191}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 8.572356981549358 \cdot 10^{-176}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.24503967386611 \cdot 10^{-149}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.4299984141510836 \cdot 10^{-124}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.4066168209035574 \cdot 10^{-44}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right|}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\sqrt{2}}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.641911564658625 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im -1.8027506436573165e+31)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- re im))))
   (if (<= im -3.4993194957776107e-161)
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
     (if (<= im -1.1367816435235204e-191)
       (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re)))
       (if (<= im 8.572356981549358e-176)
         (* 0.5 (/ (* (fabs im) (sqrt 2.0)) (sqrt (* re -2.0))))
         (if (<= im 3.24503967386611e-149)
           (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re)))
           (if (<= im 1.4299984141510836e-124)
             (* 0.5 (/ (sqrt (* 2.0 (* im im))) (sqrt (* re -2.0))))
             (if (<= im 2.4066168209035574e-44)
               (*
                0.5
                (/
                 (fabs im)
                 (/ (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)) (sqrt 2.0))))
               (if (<= im 3.641911564658625e+70)
                 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
                 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re)))))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= -1.8027506436573165e+31) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re - im));
	} else if (im <= -3.4993194957776107e-161) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else if (im <= -1.1367816435235204e-191) {
		tmp = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
	} else if (im <= 8.572356981549358e-176) {
		tmp = 0.5 * ((fabs(im) * sqrt(2.0)) / sqrt(re * -2.0));
	} else if (im <= 3.24503967386611e-149) {
		tmp = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
	} else if (im <= 1.4299984141510836e-124) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0 * (im * im)) / sqrt(re * -2.0));
	} else if (im <= 2.4066168209035574e-44) {
		tmp = 0.5 * (fabs(im) / (sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re) / sqrt(2.0)));
	} else if (im <= 3.641911564658625e+70) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	38.9
Target	33.9
Herbie	22.7

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 7 regimes

2. if im < -1.80275064365731655e31

   1. Initial program 44.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around -inf 13.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re - im\right)}}\]

   if -1.80275064365731655e31 < im < -3.49931949577761071e-161 or 2.4066168209035574e-44 < im < 3.6419115646586251e70

   1. Initial program 25.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   if -3.49931949577761071e-161 < im < -1.1367816435235204e-191 or 8.57235698154935808e-176 < im < 3.24503967386610997e-149

   1. Initial program 39.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 34.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{re} \cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{2}\right)}\]

   3. Simplified 34.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{re}\right)}\]

   if -1.1367816435235204e-191 < im < 8.57235698154935808e-176

   1. Initial program 42.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64_3121 60.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/_binary64_3089 60.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div_binary64_3164 60.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 53.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied sqrt-prod_binary64_3163 53.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   9. Simplified 39.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   10. Taylor expanded around -inf 35.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

   11. Simplified 35.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\color{blue}{re \cdot -2}}}\]

   if 3.24503967386610997e-149 < im < 1.42999841415108362e-124

   1. Initial program 34.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64_3121 46.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/_binary64_3089 46.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div_binary64_3164 46.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 32.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   7. Taylor expanded around -inf 42.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

   8. Simplified 42.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\color{blue}{re \cdot -2}}}\]

   if 1.42999841415108362e-124 < im < 2.4066168209035574e-44

   1. Initial program 31.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64_3121 41.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/_binary64_3089 41.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div_binary64_3164 41.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 27.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied sqrt-prod_binary64_3163 27.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   9. Simplified 27.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   10. Using strategy rm

   11. Applied associate-/l*_binary64_3092 27.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\sqrt{2}}}}\]

   if 3.6419115646586251e70 < im

   1. Initial program 48.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 12.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
3. Recombined 7 regimes into one program.

4. Final simplification 22.7

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -1.8027506436573165 \cdot 10^{+31}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -3.4993194957776107 \cdot 10^{-161}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -1.1367816435235204 \cdot 10^{-191}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 8.572356981549358 \cdot 10^{-176}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.24503967386611 \cdot 10^{-149}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.4299984141510836 \cdot 10^{-124}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.4066168209035574 \cdot 10^{-44}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right|}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\sqrt{2}}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.641911564658625 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021009 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))