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Precision: binary64
\[im > 0\]
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -4.4330676814994195 \cdot 10^{+21}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.297043385487507 \cdot 10^{-77}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.6689021186793083 \cdot 10^{-127}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 8.108748112900304 \cdot 10^{-79}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 608.4785949488302:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 6.943865471115237 \cdot 10^{+35}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot im}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 8.779002270216535 \cdot 10^{+85}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -4.4330676814994195 \cdot 10^{+21}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -1.297043385487507 \cdot 10^{-77}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -1.6689021186793083 \cdot 10^{-127}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 8.108748112900304 \cdot 10^{-79}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 608.4785949488302:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\

\mathbf{elif}\;re \leq 6.943865471115237 \cdot 10^{+35}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot im}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 8.779002270216535 \cdot 10^{+85}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -4.4330676814994195e+21)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (* re -2.0))))
   (if (<= re -1.297043385487507e-77)
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re))))
     (if (<= re -1.6689021186793083e-127)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
       (if (<= re 8.108748112900304e-79)
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re))))
         (if (<= re 608.4785949488302)
           (* 0.5 (* (* (sqrt 0.5) (* im (sqrt 2.0))) (sqrt (/ 1.0 re))))
           (if (<= re 6.943865471115237e+35)
             (* 0.5 (sqrt (* 2.0 im)))
             (if (<= re 8.779002270216535e+85)
               (*
                0.5
                (/
                 (sqrt (* 2.0 (* im im)))
                 (sqrt (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
               (*
                0.5
                (* (* (sqrt 0.5) (* im (sqrt 2.0))) (sqrt (/ 1.0 re))))))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -4.4330676814994195e+21) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re * -2.0));
	} else if (re <= -1.297043385487507e-77) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	} else if (re <= -1.6689021186793083e-127) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
	} else if (re <= 8.108748112900304e-79) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	} else if (re <= 608.4785949488302) {
		tmp = 0.5 * ((sqrt(0.5) * (im * sqrt(2.0))) * sqrt(1.0 / re));
	} else if (re <= 6.943865471115237e+35) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * im);
	} else if (re <= 8.779002270216535e+85) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0 * (im * im)) / sqrt(re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else {
		tmp = 0.5 * ((sqrt(0.5) * (im * sqrt(2.0))) * sqrt(1.0 / re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 6 regimes

  2. if re < -4433067681499419510000

    1. Initial program 41.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 13.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    3. Simplified13.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -2\right)}}\]

    if -4433067681499419510000 < re < -1.29704338548750692e-77 or -1.66890211867930825e-127 < re < 8.10874811290030405e-79

    1. Initial program 26.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 12.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]

    if -1.29704338548750692e-77 < re < -1.66890211867930825e-127

    1. Initial program 14.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    if 8.10874811290030405e-79 < re < 608.478594948830164 or 8.77900227021653491e85 < re

    1. Initial program 54.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 17.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)}\]

    if 608.478594948830164 < re < 6.9438654711152371e35

    1. Initial program 44.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 30.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{im}}\]

    if 6.9438654711152371e35 < re < 8.77900227021653491e85

    1. Initial program 50.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--_binary64_39450.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_36150.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_43650.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified28.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    7. Simplified28.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]
  3. Recombined 6 regimes into one program.

  4. Final simplification15.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -4.4330676814994195 \cdot 10^{+21}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.297043385487507 \cdot 10^{-77}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.6689021186793083 \cdot 10^{-127}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 8.108748112900304 \cdot 10^{-79}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 608.4785949488302:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 6.943865471115237 \cdot 10^{+35}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot im}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 8.779002270216535 \cdot 10^{+85}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021007 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  :pre (> im 0.0)
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))