math.sqrt on complex, real part

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Precision: binary64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -3.0199405747825176 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -1.5611223038770802 \cdot 10^{-162}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -7.061996127152542 \cdot 10^{-306}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 7.019789919272511 \cdot 10^{-278}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 8.074975228724846 \cdot 10^{-250}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.10816646233924 \cdot 10^{-162}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.235045464145441 \cdot 10^{-105}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.1890627631191766 \cdot 10^{-70}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.279790948248637 \cdot 10^{+82}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{im - re}}\right)\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im -3.0199405747825176e+77)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- re im))))
   (if (<= im -1.5611223038770802e-162)
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
     (if (<= im -7.061996127152542e-306)
       (* 0.5 (* (fabs im) (/ (sqrt 2.0) (sqrt (* re -2.0)))))
       (if (<= im 7.019789919272511e-278)
         (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re)))
         (if (<= im 8.074975228724846e-250)
           (* 0.5 (* (fabs im) (/ (sqrt 2.0) (sqrt (* re -2.0)))))
           (if (<= im 2.10816646233924e-162)
             (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re)))
             (if (<= im 3.235045464145441e-105)
               (*
                0.5
                (*
                 (fabs im)
                 (sqrt (/ 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
               (if (<= im 1.1890627631191766e-70)
                 (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re)))
                 (if (<= im 3.279790948248637e+82)
                   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
                   (*
                    0.5
                    (* (fabs im) (/ (sqrt 2.0) (sqrt (- im re)))))))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= -3.0199405747825176e+77) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re - im));
	} else if (im <= -1.5611223038770802e-162) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else if (im <= -7.061996127152542e-306) {
		tmp = 0.5 * (fabs(im) * (sqrt(2.0) / sqrt(re * -2.0)));
	} else if (im <= 7.019789919272511e-278) {
		tmp = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
	} else if (im <= 8.074975228724846e-250) {
		tmp = 0.5 * (fabs(im) * (sqrt(2.0) / sqrt(re * -2.0)));
	} else if (im <= 2.10816646233924e-162) {
		tmp = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
	} else if (im <= 3.235045464145441e-105) {
		tmp = 0.5 * (fabs(im) * sqrt(2.0 / (sqrt((re * re) + (im * im)) - re)));
	} else if (im <= 1.1890627631191766e-70) {
		tmp = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
	} else if (im <= 3.279790948248637e+82) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else {
		tmp = 0.5 * (fabs(im) * (sqrt(2.0) / sqrt(im - re)));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	39.0
Target	33.7
Herbie	22.9

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 6 regimes

2. if im < -3.0199405747825176e77

   1. Initial program 49.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around -inf 10.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re - im\right)}}\]

   if -3.0199405747825176e77 < im < -1.5611223038770802e-162 or 1.18906276311917661e-70 < im < 3.2797909482486371e82

   1. Initial program 25.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   if -1.5611223038770802e-162 < im < -7.06199612715254226e-306 or 7.0197899192725114e-278 < im < 8.0749752287248463e-250

   1. Initial program 44.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64_2098 60.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/_binary64_2066 60.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div_binary64_2141 60.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 53.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied *-un-lft-identity_binary64_2124 53.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   9. Applied sqrt-prod_binary64_2140 53.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   10. Applied sqrt-prod_binary64_2140 53.5

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   11. Applied times-frac_binary64_2130 53.5

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

   12. Simplified 38.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

   13. Simplified 38.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\right)\]

   14. Taylor expanded around -inf 34.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\right)\]

   15. Simplified 34.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\color{blue}{re \cdot -2}}}\right)\]

   if -7.06199612715254226e-306 < im < 7.0197899192725114e-278 or 8.0749752287248463e-250 < im < 2.10816646233923992e-162 or 3.2350454641454411e-105 < im < 1.18906276311917661e-70

   1. Initial program 41.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 37.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{re} \cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{2}\right)}\]

   3. Simplified 36.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{re}\right)}\]

   if 2.10816646233923992e-162 < im < 3.2350454641454411e-105

   1. Initial program 32.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64_2098 46.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/_binary64_2066 46.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div_binary64_2141 46.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 30.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied *-un-lft-identity_binary64_2124 30.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   9. Applied sqrt-prod_binary64_2140 30.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   10. Applied sqrt-prod_binary64_2140 30.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   11. Applied times-frac_binary64_2130 30.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

   12. Simplified 29.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

   13. Simplified 29.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\right)\]
   14. Using strategy rm

   15. Applied sqrt-undiv_binary64_2145 29.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{2}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\right)\]

   if 3.2797909482486371e82 < im

   1. Initial program 47.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64_2098 48.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/_binary64_2066 48.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div_binary64_2141 48.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 47.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied *-un-lft-identity_binary64_2124 47.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   9. Applied sqrt-prod_binary64_2140 47.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   10. Applied sqrt-prod_binary64_2140 47.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   11. Applied times-frac_binary64_2130 47.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

   12. Simplified 46.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

   13. Simplified 46.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\right)\]

   14. Taylor expanded around inf 10.8

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\color{blue}{im} - re}}\right)\]
3. Recombined 6 regimes into one program.

4. Final simplification 22.9

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -3.0199405747825176 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -1.5611223038770802 \cdot 10^{-162}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -7.061996127152542 \cdot 10^{-306}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 7.019789919272511 \cdot 10^{-278}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 8.074975228724846 \cdot 10^{-250}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.10816646233924 \cdot 10^{-162}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.235045464145441 \cdot 10^{-105}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.1890627631191766 \cdot 10^{-70}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.279790948248637 \cdot 10^{+82}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{im - re}}\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020357 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))