Average Error: 59.8 → 0.4
Time: 9.8s
Precision: binary64
\[-0.026 < x \land x < 0.026\]
\[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\]
↓
\[\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}} \cdot \left(\left(x \cdot {\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{1.5}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}}\right) + \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5}\right)\]
\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}
↓
\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}} \cdot \left(\left(x \cdot {\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{1.5}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}}\right) + \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5}\right)
(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))
↓
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (*
   (sqrt (sqrt (sqrt 0.3333333333333333)))
   (*
    (* x (pow (sqrt 0.3333333333333333) 1.5))
    (sqrt (sqrt (sqrt 0.3333333333333333)))))
  (+
   (* 0.022222222222222223 (pow x 3.0))
   (* 0.0021164021164021165 (pow x 5.0)))))
double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
}
↓
double code(double x) {
	return (sqrt(sqrt(sqrt(0.3333333333333333))) * ((x * pow(sqrt(0.3333333333333333), 1.5)) * sqrt(sqrt(sqrt(0.3333333333333333))))) + ((0.022222222222222223 * pow(x, 3.0)) + (0.0021164021164021165 * pow(x, 5.0)));
}

Error

Bits error versus x

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original59.8
Target0.1
Herbie0.4
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.026:\\ \;\;\;\;\frac{x}{3} \cdot \left(1 + \frac{x \cdot x}{15}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Initial program 59.8

    \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\]

  2. Taylor expanded around 0 0.3

    \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5}\right)}\]

  3. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333 + \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5}\right)}\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied add-sqr-sqrt_binary64_14640.3

    \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)} + \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5}\right)\]

  6. Applied associate-*r*_binary64_13820.7

    \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right) \cdot \sqrt{0.3333333333333333}} + \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5}\right)\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied add-sqr-sqrt_binary64_14640.7

    \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\right)} + \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5}\right)\]

  9. Applied associate-*r*_binary64_13820.5

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}} + \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5}\right)\]

  10. Simplified0.5

    \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot {\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{1.5}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} + \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5}\right)\]
  11. Using strategy rm

  12. Applied add-sqr-sqrt_binary64_14640.5

    \[\leadsto \left(x \cdot {\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{1.5}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}}\right)} + \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5}\right)\]

  13. Applied associate-*r*_binary64_13820.4

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot {\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{1.5}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}}} + \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5}\right)\]

  14. Final simplification0.4

    \[\leadsto \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}} \cdot \left(\left(x \cdot {\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{1.5}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}}\right) + \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5}\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020356 
(FPCore (x)
  :name "invcot (example 3.9)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -0.026 x) (< x 0.026))

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.026) (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0))) (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

  (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))