Average Error: 38.2 → 20.0
Time: 4.4s
Precision: binary64
\[im > 0\]
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.6874163197264964 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -5.664380019779569 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -2.2268645772545896 \cdot 10^{-52}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -6.0218344330433126 \cdot 10^{-83}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 0.00014806582749271268 \lor \neg \left(re \leq 1.673793550171553 \cdot 10^{+32}\right) \land re \leq 4.5912650619447364 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -1.6874163197264964 \cdot 10^{+153}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -5.664380019779569 \cdot 10^{-18}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -2.2268645772545896 \cdot 10^{-52}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -6.0218344330433126 \cdot 10^{-83}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 0.00014806582749271268 \lor \neg \left(re \leq 1.673793550171553 \cdot 10^{+32}\right) \land re \leq 4.5912650619447364 \cdot 10^{+77}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -1.6874163197264964e+153)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (* re -2.0))))
   (if (<= re -5.664380019779569e-18)
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
     (if (<= re -2.2268645772545896e-52)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re))))
       (if (<= re -6.0218344330433126e-83)
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
         (if (or (<= re 0.00014806582749271268)
                 (and (not (<= re 1.673793550171553e+32))
                      (<= re 4.5912650619447364e+77)))
           (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re))))
           (*
            0.5
            (/
             (sqrt (* 2.0 (* im im)))
             (sqrt (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -1.6874163197264964e+153) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re * -2.0));
	} else if (re <= -5.664380019779569e-18) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
	} else if (re <= -2.2268645772545896e-52) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	} else if (re <= -6.0218344330433126e-83) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
	} else if ((re <= 0.00014806582749271268) || (!(re <= 1.673793550171553e+32) && (re <= 4.5912650619447364e+77))) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	} else {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0 * (im * im)) / sqrt(re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -1.68741631972649636e153

    1. Initial program 63.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 8.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    3. Simplified8.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -2\right)}}\]

    if -1.68741631972649636e153 < re < -5.66438001977956883e-18 or -2.22686457725458955e-52 < re < -6.0218344330433126e-83

    1. Initial program 16.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    if -5.66438001977956883e-18 < re < -2.22686457725458955e-52 or -6.0218344330433126e-83 < re < 1.48065827492712684e-4 or 1.67379355017155311e32 < re < 4.59126506194473644e77

    1. Initial program 31.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 15.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]

    if 1.48065827492712684e-4 < re < 1.67379355017155311e32 or 4.59126506194473644e77 < re

    1. Initial program 58.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--_binary64_39458.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_36158.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_43658.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified40.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    7. Simplified40.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification20.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.6874163197264964 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -5.664380019779569 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -2.2268645772545896 \cdot 10^{-52}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -6.0218344330433126 \cdot 10^{-83}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 0.00014806582749271268 \lor \neg \left(re \leq 1.673793550171553 \cdot 10^{+32}\right) \land re \leq 4.5912650619447364 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020355 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  :pre (> im 0.0)
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))