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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -3.7551716130211512 \cdot 10^{+180}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -6.935380485843228 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.2122369579117312 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -3.7551716130211512 \cdot 10^{+180}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{re \cdot -2}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -6.935380485843228 \cdot 10^{-15}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 1.2122369579117312 \cdot 10^{+69}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -3.7551716130211512e+180)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (/ (* im im) (* re -2.0)))))
   (if (<= re -6.935380485843228e-15)
     (*
      0.5
      (/
       (sqrt (* 2.0 (* im im)))
       (sqrt (- (sqrt (+ (* im im) (* re re))) re))))
     (if (<= re 1.2122369579117312e+69)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* im im) (* re re)))))))
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re re))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -3.7551716130211512e+180) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * ((im * im) / (re * -2.0)));
	} else if (re <= -6.935380485843228e-15) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0 * (im * im)) / sqrt(sqrt((im * im) + (re * re)) - re));
	} else if (re <= 1.2122369579117312e+69) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((im * im) + (re * re))));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.7
Target33.9
Herbie25.6
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -3.7551716130211512e180

    1. Initial program 64.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_209864.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Simplified50.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    5. Taylor expanded around -inf 32.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

    6. Simplified32.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{re \cdot -2}}}\]

    if -3.7551716130211512e180 < re < -6.93538048584322783e-15

    1. Initial program 51.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_209851.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Simplified34.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied associate-*r/_binary64_206634.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    7. Applied sqrt-div_binary64_214131.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    8. Simplified31.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -6.93538048584322783e-15 < re < 1.21223695791173117e69

    1. Initial program 27.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 1.21223695791173117e69 < re

    1. Initial program 46.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 12.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification25.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -3.7551716130211512 \cdot 10^{+180}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -6.935380485843228 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.2122369579117312 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020355 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))