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Precision: binary64
\[im > 0\]
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -3.846513651338927 \cdot 10^{+148}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(-re\right) - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -3.703126325438035 \cdot 10^{-120}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.7496279647313789 \cdot 10^{+34}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.8587874195533764 \cdot 10^{+169}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 5.416764675562037 \cdot 10^{+209}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{0}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -3.846513651338927 \cdot 10^{+148}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(-re\right) - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -3.703126325438035 \cdot 10^{-120}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 1.7496279647313789 \cdot 10^{+34}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 1.8587874195533764 \cdot 10^{+169}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 5.416764675562037 \cdot 10^{+209}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{0}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -3.846513651338927e+148)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (- re) re))))
   (if (<= re -3.703126325438035e-120)
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
     (if (<= re 1.7496279647313789e+34)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re))))
       (if (<= re 1.8587874195533764e+169)
         (*
          0.5
          (/
           (sqrt (* 2.0 (* im im)))
           (sqrt (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
         (if (<= re 5.416764675562037e+209)
           (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re))))
           (* 0.5 (sqrt 0.0))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -3.846513651338927e+148) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (-re - re));
	} else if (re <= -3.703126325438035e-120) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
	} else if (re <= 1.7496279647313789e+34) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	} else if (re <= 1.8587874195533764e+169) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0 * (im * im)) / sqrt(re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else if (re <= 5.416764675562037e+209) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(0.0);
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if re < -3.8465136513389271e148

    1. Initial program 62.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 8.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{-1 \cdot re} - re\right)}\]

    3. Simplified8.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(-re\right)} - re\right)}\]

    if -3.8465136513389271e148 < re < -3.7031263254380353e-120

    1. Initial program 15.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    if -3.7031263254380353e-120 < re < 1.7496279647313789e34 or 1.8587874195533764e169 < re < 5.41676467556203727e209

    1. Initial program 34.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 17.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]

    if 1.7496279647313789e34 < re < 1.8587874195533764e169

    1. Initial program 51.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--_binary6451.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary6451.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary6451.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified30.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    7. Simplified30.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]

    if 5.41676467556203727e209 < re

    1. Initial program 64.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 48.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{0}}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification19.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -3.846513651338927 \cdot 10^{+148}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(-re\right) - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -3.703126325438035 \cdot 10^{-120}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.7496279647313789 \cdot 10^{+34}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.8587874195533764 \cdot 10^{+169}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 5.416764675562037 \cdot 10^{+209}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{0}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020354 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  :pre (> im 0.0)
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))