2nthrt (problem 3.4.6)

Average Error: 32.3 → 11.7

Time: 41.5s

Precision: binary64

Math

\[{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -7.960537086961811 \cdot 10^{+105}:\\ \;\;\;\;\frac{\log \left(x + 1\right) - \log x}{n}\\ \mathbf{elif}\;n \leq -2.809100228612805 \cdot 10^{+38}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{{x}^{\left(\frac{-1}{n}\right)}}{{x}^{3}} \cdot \left(\frac{0.16666666666666666}{{n}^{3}} + \frac{0.3333333333333333}{n}\right) + \left(\frac{{x}^{\left(\frac{-1}{n}\right)}}{n \cdot x} + \frac{{x}^{\left(\frac{-1}{n}\right)}}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{0.5}{n \cdot n} - \frac{0.5}{n}\right)\right)\right) + \frac{{x}^{\left(\frac{-1}{n}\right)}}{n \cdot \left(n \cdot {x}^{3}\right)} \cdot -0.5\\ \mathbf{elif}\;n \leq -1.2662371694345975:\\ \;\;\;\;\frac{\left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{2} + \left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{2} + \left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)}{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) + \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 306502.3035186536:\\ \;\;\;\;e^{\log \left({\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) + 0.5 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{2}}{n \cdot n}\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right) + 0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n}\right)\right)\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (x n)
 :precision binary64
 (- (pow (+ x 1.0) (/ 1.0 n)) (pow x (/ 1.0 n))))

↓

(FPCore (x n)
 :precision binary64
 (if (<= n -7.960537086961811e+105)
   (/ (- (log (+ x 1.0)) (log x)) n)
   (if (<= n -2.809100228612805e+38)
     (+
      (+
       (*
        (/ (pow x (/ -1.0 n)) (pow x 3.0))
        (+ (/ 0.16666666666666666 (pow n 3.0)) (/ 0.3333333333333333 n)))
       (+
        (/ (pow x (/ -1.0 n)) (* n x))
        (* (/ (pow x (/ -1.0 n)) (* x x)) (- (/ 0.5 (* n n)) (/ 0.5 n)))))
      (* (/ (pow x (/ -1.0 n)) (* n (* n (pow x 3.0)))) -0.5))
     (if (<= n -1.2662371694345975)
       (/
        (-
         (*
          (+
           (* 0.5 (pow (/ (log (+ x 1.0)) n) 2.0))
           (+
            (* 0.041666666666666664 (pow (/ (log (+ x 1.0)) n) 4.0))
            (+
             (/ (log (+ x 1.0)) n)
             (* 0.16666666666666666 (pow (/ (log (+ x 1.0)) n) 3.0)))))
          (+
           (* 0.5 (pow (/ (log (+ x 1.0)) n) 2.0))
           (+
            (* 0.041666666666666664 (pow (/ (log (+ x 1.0)) n) 4.0))
            (+
             (/ (log (+ x 1.0)) n)
             (* 0.16666666666666666 (pow (/ (log (+ x 1.0)) n) 3.0))))))
         (*
          (+
           (/ (log x) n)
           (+
            (* 0.5 (pow (/ (log x) n) 2.0))
            (+
             (* 0.16666666666666666 (pow (/ (log x) n) 3.0))
             (* 0.041666666666666664 (pow (/ (log x) n) 4.0)))))
          (+
           (/ (log x) n)
           (+
            (* 0.5 (pow (/ (log x) n) 2.0))
            (+
             (* 0.16666666666666666 (pow (/ (log x) n) 3.0))
             (* 0.041666666666666664 (pow (/ (log x) n) 4.0)))))))
        (+
         (* 0.5 (pow (/ (log (+ x 1.0)) n) 2.0))
         (+
          (+
           (* 0.041666666666666664 (pow (/ (log (+ x 1.0)) n) 4.0))
           (+
            (/ (log (+ x 1.0)) n)
            (* 0.16666666666666666 (pow (/ (log (+ x 1.0)) n) 3.0))))
          (+
           (/ (log x) n)
           (+
            (* 0.5 (pow (/ (log x) n) 2.0))
            (+
             (* 0.16666666666666666 (pow (/ (log x) n) 3.0))
             (* 0.041666666666666664 (pow (/ (log x) n) 4.0))))))))
       (if (<= n 306502.3035186536)
         (exp (log (- (pow (+ x 1.0) (/ 1.0 n)) (pow x (/ 1.0 n)))))
         (-
          (+
           (+
            (* 0.041666666666666664 (pow (/ (log (+ x 1.0)) n) 4.0))
            (+
             (/ (log (+ x 1.0)) n)
             (* 0.16666666666666666 (pow (/ (log (+ x 1.0)) n) 3.0))))
           (* 0.5 (/ (pow (log (+ x 1.0)) 2.0) (* n n))))
          (+
           (/ (log x) n)
           (+
            (+
             (* 0.16666666666666666 (pow (/ (log x) n) 3.0))
             (* 0.041666666666666664 (pow (/ (log x) n) 4.0)))
            (* 0.5 (/ (pow (log x) 2.0) (* n n)))))))))))

C

double code(double x, double n) {
	return pow((x + 1.0), (1.0 / n)) - pow(x, (1.0 / n));
}

↓

double code(double x, double n) {
	double tmp;
	if (n <= -7.960537086961811e+105) {
		tmp = (log(x + 1.0) - log(x)) / n;
	} else if (n <= -2.809100228612805e+38) {
		tmp = (((pow(x, (-1.0 / n)) / pow(x, 3.0)) * ((0.16666666666666666 / pow(n, 3.0)) + (0.3333333333333333 / n))) + ((pow(x, (-1.0 / n)) / (n * x)) + ((pow(x, (-1.0 / n)) / (x * x)) * ((0.5 / (n * n)) - (0.5 / n))))) + ((pow(x, (-1.0 / n)) / (n * (n * pow(x, 3.0)))) * -0.5);
	} else if (n <= -1.2662371694345975) {
		tmp = ((((0.5 * pow((log(x + 1.0) / n), 2.0)) + ((0.041666666666666664 * pow((log(x + 1.0) / n), 4.0)) + ((log(x + 1.0) / n) + (0.16666666666666666 * pow((log(x + 1.0) / n), 3.0))))) * ((0.5 * pow((log(x + 1.0) / n), 2.0)) + ((0.041666666666666664 * pow((log(x + 1.0) / n), 4.0)) + ((log(x + 1.0) / n) + (0.16666666666666666 * pow((log(x + 1.0) / n), 3.0)))))) - (((log(x) / n) + ((0.5 * pow((log(x) / n), 2.0)) + ((0.16666666666666666 * pow((log(x) / n), 3.0)) + (0.041666666666666664 * pow((log(x) / n), 4.0))))) * ((log(x) / n) + ((0.5 * pow((log(x) / n), 2.0)) + ((0.16666666666666666 * pow((log(x) / n), 3.0)) + (0.041666666666666664 * pow((log(x) / n), 4.0))))))) / ((0.5 * pow((log(x + 1.0) / n), 2.0)) + (((0.041666666666666664 * pow((log(x + 1.0) / n), 4.0)) + ((log(x + 1.0) / n) + (0.16666666666666666 * pow((log(x + 1.0) / n), 3.0)))) + ((log(x) / n) + ((0.5 * pow((log(x) / n), 2.0)) + ((0.16666666666666666 * pow((log(x) / n), 3.0)) + (0.041666666666666664 * pow((log(x) / n), 4.0)))))));
	} else if (n <= 306502.3035186536) {
		tmp = exp(log(pow((x + 1.0), (1.0 / n)) - pow(x, (1.0 / n))));
	} else {
		tmp = (((0.041666666666666664 * pow((log(x + 1.0) / n), 4.0)) + ((log(x + 1.0) / n) + (0.16666666666666666 * pow((log(x + 1.0) / n), 3.0)))) + (0.5 * (pow(log(x + 1.0), 2.0) / (n * n)))) - ((log(x) / n) + (((0.16666666666666666 * pow((log(x) / n), 3.0)) + (0.041666666666666664 * pow((log(x) / n), 4.0))) + (0.5 * (pow(log(x), 2.0) / (n * n)))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus n

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if n < -7.96053708696181072e105

   1. Initial program 40.4

      \[{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 10.4

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\log \left(x + 1\right) - \log x}{n}}\]

   if -7.96053708696181072e105 < n < -2.809100228612805e38

   1. Initial program 54.3

      \[{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 31.2

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \frac{e^{-1 \cdot \frac{\log x}{n}}}{{x}^{3} \cdot {n}^{3}} + \left(0.3333333333333333 \cdot \frac{e^{-1 \cdot \frac{\log x}{n}}}{{x}^{3} \cdot n} + \left(\frac{e^{-1 \cdot \frac{\log x}{n}}}{x \cdot n} + 0.5 \cdot \frac{e^{-1 \cdot \frac{\log x}{n}}}{{x}^{2} \cdot {n}^{2}}\right)\right)\right) - \left(0.5 \cdot \frac{e^{-1 \cdot \frac{\log x}{n}}}{{x}^{2} \cdot n} + 0.5 \cdot \frac{e^{-1 \cdot \frac{\log x}{n}}}{{x}^{3} \cdot {n}^{2}}\right)}\]

   3. Simplified 31.2

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{{x}^{\left(-\frac{1}{n}\right)}}{{x}^{3}} \cdot \left(\frac{0.16666666666666666}{{n}^{3}} + \frac{0.3333333333333333}{n}\right) + \left(\frac{{x}^{\left(-\frac{1}{n}\right)}}{x \cdot n} + \frac{{x}^{\left(-\frac{1}{n}\right)}}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{0.5}{n \cdot n} - \frac{0.5}{n}\right)\right)\right) + \frac{{x}^{\left(-\frac{1}{n}\right)}}{n \cdot \left(n \cdot {x}^{3}\right)} \cdot -0.5}\]

   if -2.809100228612805e38 < n < -1.26623716943459752

   1. Initial program 51.8

      \[{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 31.0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{2}}{{n}^{2}} + \left(0.041666666666666664 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{4}}{{n}^{4}} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{3}}{{n}^{3}}\right)\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{{n}^{2}} + \left(0.041666666666666664 \cdot \frac{{\log x}^{4}}{{n}^{4}} + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\log x}^{3}}{{n}^{3}}\right)\right)\right)}\]

   3. Simplified 31.0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{2}}{n \cdot n} + \left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)}\]
   4. Using strategy rm

   5. Applied flip--_binary64_394 31.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.5 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{2}}{n \cdot n} + \left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{2}}{n \cdot n} + \left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\left(0.5 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{2}}{n \cdot n} + \left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)\right) + \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)}}\]

   6. Simplified 31.0

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{2} + \left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{2} + \left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)}}{\left(0.5 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{2}}{n \cdot n} + \left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)\right) + \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)}\]

   7. Simplified 31.0

      \[\leadsto \frac{\left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{2} + \left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{2} + \left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)}{\color{blue}{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) + \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}}\]

   if -1.26623716943459752 < n < 306502.30351865361

   1. Initial program 2.0

      \[{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-exp-log_binary64_457 2.1

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left({\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\right)}}\]

   if 306502.30351865361 < n

   1. Initial program 44.2

      \[{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 13.8

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{2}}{{n}^{2}} + \left(0.041666666666666664 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{4}}{{n}^{4}} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{3}}{{n}^{3}}\right)\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{{n}^{2}} + \left(0.041666666666666664 \cdot \frac{{\log x}^{4}}{{n}^{4}} + 0.16666666666666666 \cdot \frac{{\log x}^{3}}{{n}^{3}}\right)\right)\right)}\]

   3. Simplified 13.8

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{2}}{n \cdot n} + \left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)}\]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 11.7

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;n \leq -7.960537086961811 \cdot 10^{+105}:\\ \;\;\;\;\frac{\log \left(x + 1\right) - \log x}{n}\\ \mathbf{elif}\;n \leq -2.809100228612805 \cdot 10^{+38}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{{x}^{\left(\frac{-1}{n}\right)}}{{x}^{3}} \cdot \left(\frac{0.16666666666666666}{{n}^{3}} + \frac{0.3333333333333333}{n}\right) + \left(\frac{{x}^{\left(\frac{-1}{n}\right)}}{n \cdot x} + \frac{{x}^{\left(\frac{-1}{n}\right)}}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{0.5}{n \cdot n} - \frac{0.5}{n}\right)\right)\right) + \frac{{x}^{\left(\frac{-1}{n}\right)}}{n \cdot \left(n \cdot {x}^{3}\right)} \cdot -0.5\\ \mathbf{elif}\;n \leq -1.2662371694345975:\\ \;\;\;\;\frac{\left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{2} + \left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{2} + \left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right)\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)}{0.5 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{2} + \left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) + \left(\frac{\log x}{n} + \left(0.5 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;n \leq 306502.3035186536:\\ \;\;\;\;e^{\log \left({\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{4} + \left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n} + 0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log \left(x + 1\right)}{n}\right)}^{3}\right)\right) + 0.5 \cdot \frac{{\log \left(x + 1\right)}^{2}}{n \cdot n}\right) - \left(\frac{\log x}{n} + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3} + 0.041666666666666664 \cdot {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{4}\right) + 0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n}\right)\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020353 
(FPCore (x n)
  :name "2nthrt (problem 3.4.6)"
  :precision binary64
  (- (pow (+ x 1.0) (/ 1.0 n)) (pow x (/ 1.0 n))))