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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.3365884841721249 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{im - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.5976900549837345 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 6.503475815263617 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -1.3365884841721249 \cdot 10^{+154}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{im - re}}\right)\\

\mathbf{elif}\;re \leq 2.5976900549837345 \cdot 10^{-305}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\

\mathbf{elif}\;re \leq 6.503475815263617 \cdot 10^{+54}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -1.3365884841721249e+154)
   (* 0.5 (* (fabs im) (sqrt (/ 2.0 (- im re)))))
   (if (<= re 2.5976900549837345e-305)
     (* 0.5 (* (fabs im) (sqrt (/ 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
     (if (<= re 6.503475815263617e+54)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
       (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re)))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -1.3365884841721249e+154) {
		tmp = 0.5 * (fabs(im) * sqrt(2.0 / (im - re)));
	} else if (re <= 2.5976900549837345e-305) {
		tmp = 0.5 * (fabs(im) * sqrt(2.0 / (sqrt((re * re) + (im * im)) - re)));
	} else if (re <= 6.503475815263617e+54) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else {
		tmp = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.4
Target33.4
Herbie20.9
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -1.3365884841721249e154

    1. Initial program 64.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_209864.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_206664.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_214164.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified50.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied *-un-lft-identity_binary64_212450.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

    9. Applied sqrt-prod_binary64_214050.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    10. Applied sqrt-prod_binary64_214050.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    11. Applied times-frac_binary64_213050.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

    12. Simplified50.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]
    13. Using strategy rm

    14. Applied sqrt-undiv_binary64_214550.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    15. Taylor expanded around 0 39.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\color{blue}{im} - re}}\right)\]

    if -1.3365884841721249e154 < re < 2.59769005498373445e-305

    1. Initial program 40.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_209840.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_206640.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_214140.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified30.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied *-un-lft-identity_binary64_212430.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

    9. Applied sqrt-prod_binary64_214030.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    10. Applied sqrt-prod_binary64_214030.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    11. Applied times-frac_binary64_213030.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

    12. Simplified20.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]
    13. Using strategy rm

    14. Applied sqrt-undiv_binary64_214520.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    if 2.59769005498373445e-305 < re < 6.5034758152636166e54

    1. Initial program 20.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 6.5034758152636166e54 < re

    1. Initial program 44.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 12.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{re} \cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{2}\right)}\]

    3. Simplified11.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{re}\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification20.9

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.3365884841721249 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{im - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.5976900549837345 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 6.503475815263617 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020344 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))