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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -6.2492827667685015 \cdot 10^{+187}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 5.940568352251136 \cdot 10^{-298}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 4.943285085157152 \cdot 10^{+144}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -6.2492827667685015 \cdot 10^{+187}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 5.940568352251136 \cdot 10^{-298}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 4.943285085157152 \cdot 10^{+144}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -6.2492827667685015e+187)
   (* 0.5 (/ (sqrt (* (* im im) 2.0)) (sqrt (* re -2.0))))
   (if (<= re 5.940568352251136e-298)
     (*
      0.5
      (/
       (* (fabs im) (sqrt 2.0))
       (sqrt (- (sqrt (+ (* im im) (* re re))) re))))
     (if (<= re 4.943285085157152e+144)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* im im) (* re re)))))))
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re re))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -6.2492827667685015e+187) {
		tmp = 0.5 * (sqrt((im * im) * 2.0) / sqrt(re * -2.0));
	} else if (re <= 5.940568352251136e-298) {
		tmp = 0.5 * ((fabs(im) * sqrt(2.0)) / sqrt(sqrt((im * im) + (re * re)) - re));
	} else if (re <= 4.943285085157152e+144) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((im * im) + (re * re))));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.8
Target33.6
Herbie19.4
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -6.2492827667685015e187

    1. Initial program 64.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_243964.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_240764.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_248264.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified51.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    7. Taylor expanded around -inf 20.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

    8. Simplified20.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\color{blue}{re \cdot -2}}}\]

    if -6.2492827667685015e187 < re < 5.9405683522511362e-298

    1. Initial program 41.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_243941.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_240741.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_248241.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified30.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod_binary64_248130.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    9. Simplified22.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if 5.9405683522511362e-298 < re < 4.9432850851571519e144

    1. Initial program 21.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 4.9432850851571519e144 < re

    1. Initial program 60.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 7.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification19.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -6.2492827667685015 \cdot 10^{+187}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 5.940568352251136 \cdot 10^{-298}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 4.943285085157152 \cdot 10^{+144}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020342 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))