Average Error: 0.4 → 0.7
Time: 10.9s
Precision: binary64
\[0 \leq u1 \land u1 \leq 1 \land 0 \leq u2 \land u2 \leq 1\]
\[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5\]
↓
\[0.5 + \sqrt{-\log u1} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\sqrt{2} \cdot {\pi}^{2}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\]
\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5
↓
0.5 + \sqrt{-\log u1} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\sqrt{2} \cdot {\pi}^{2}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)
(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2)))
  0.5))
↓
(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  0.5
  (*
   (sqrt (- (log u1)))
   (+
    (* (sqrt 2.0) 0.16666666666666666)
    (* (* (* u2 u2) (* (sqrt 2.0) (pow PI 2.0))) -0.3333333333333333)))))
double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * pow((-2.0 * log(u1)), 0.5)) * cos((2.0 * ((double) M_PI)) * u2)) + 0.5;
}
↓
double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (sqrt(-log(u1)) * ((sqrt(2.0) * 0.16666666666666666) + (((u2 * u2) * (sqrt(2.0) * pow(((double) M_PI), 2.0))) * -0.3333333333333333)));
}

Error

Bits error versus u1

Bits error versus u2

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 0.4

    \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5\]

  2. Simplified0.4

    \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)}\]

  3. Taylor expanded around inf 0.4

    \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right) + 0.5}\]

  4. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \left(\sqrt{-\log u1} \cdot \sqrt{2}\right)\right)}\]

  5. Taylor expanded around 0 0.7

    \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sqrt{-\log u1} \cdot \sqrt{2}\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{-\log u1} \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left({\pi}^{2} \cdot \sqrt{2}\right)\right)\right)\right)}\]

  6. Simplified0.7

    \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{\sqrt{-\log u1} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\sqrt{2} \cdot {\pi}^{2}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)}\]

  7. Final simplification0.7

    \[\leadsto 0.5 + \sqrt{-\log u1} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot 0.16666666666666666 + \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\sqrt{2} \cdot {\pi}^{2}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020342 
(FPCore (u1 u2)
  :name "normal distribution"
  :precision binary64
  :pre (and (<= 0.0 u1 1.0) (<= 0.0 u2 1.0))
  (+ (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2))) 0.5))