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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -1.2090386254570229 \cdot 10^{+144}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -1.144684751373706 \cdot 10^{-127}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -1.7659389528927456 \cdot 10^{-293}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5.342900803735584 \cdot 10^{-238}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \left(re + 0.5 \cdot \frac{im \cdot im}{re}\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;im \leq -1.2090386254570229 \cdot 10^{+144}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \leq -1.144684751373706 \cdot 10^{-127}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \leq -1.7659389528927456 \cdot 10^{-293}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\

\mathbf{elif}\;im \leq 5.342900803735584 \cdot 10^{-238}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \left(re + 0.5 \cdot \frac{im \cdot im}{re}\right)\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im -1.2090386254570229e+144)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- re im))))
   (if (<= im -1.144684751373706e-127)
     (*
      0.5
      (sqrt
       (*
        2.0
        (+
         re
         (*
          (sqrt (sqrt (+ (* re re) (* im im))))
          (sqrt (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))))
     (if (<= im -1.7659389528927456e-293)
       (*
        0.5
        (/
         (* (fabs im) (sqrt 2.0))
         (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
       (if (<= im 5.342900803735584e-238)
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (+ re (* 0.5 (/ (* im im) re)))))))
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re)))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= -1.2090386254570229e+144) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re - im));
	} else if (im <= -1.144684751373706e-127) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + (sqrt(sqrt((re * re) + (im * im))) * sqrt(sqrt((re * re) + (im * im))))));
	} else if (im <= -1.7659389528927456e-293) {
		tmp = 0.5 * ((fabs(im) * sqrt(2.0)) / sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
	} else if (im <= 5.342900803735584e-238) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + (re + (0.5 * ((im * im) / re)))));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original39.0
Target33.9
Herbie24.9
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if im < -1.20903862545702286e144

    1. Initial program 61.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 8.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re - im\right)}}\]

    if -1.20903862545702286e144 < im < -1.14468475137370608e-127

    1. Initial program 23.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt_binary64_248723.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    if -1.14468475137370608e-127 < im < -1.76593895289274563e-293

    1. Initial program 41.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_243957.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_240757.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_248258.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified49.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod_binary64_248149.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    9. Simplified37.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -1.76593895289274563e-293 < im < 5.34290080373558396e-238

    1. Initial program 40.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 32.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(re + 0.5 \cdot \frac{{im}^{2}}{re}\right)} + re\right)}\]

    3. Simplified32.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(re + 0.5 \cdot \frac{im \cdot im}{re}\right)} + re\right)}\]

    if 5.34290080373558396e-238 < im

    1. Initial program 38.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 25.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re + im\right)}}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification24.9

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -1.2090386254570229 \cdot 10^{+144}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -1.144684751373706 \cdot 10^{-127}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -1.7659389528927456 \cdot 10^{-293}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\left|im\right| \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5.342900803735584 \cdot 10^{-238}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \left(re + 0.5 \cdot \frac{im \cdot im}{re}\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020339 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))