invcot (example 3.9)

Average Error: 59.9 → 0.4

Time: 9.3s

Precision: binary64

\[-0.026 < x \land x < 0.026\]

Math

\[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\]

↓

\[\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}} \cdot \left(\left(x \cdot {\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{1.5}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}}\right) + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (*
   (sqrt (sqrt (sqrt 0.3333333333333333)))
   (*
    (* x (pow (sqrt 0.3333333333333333) 1.5))
    (sqrt (sqrt (sqrt 0.3333333333333333)))))
  (* 0.022222222222222223 (pow x 3.0))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
}

↓

double code(double x) {
	return (sqrt(sqrt(sqrt(0.3333333333333333))) * ((x * pow(sqrt(0.3333333333333333), 1.5)) * sqrt(sqrt(sqrt(0.3333333333333333))))) + (0.022222222222222223 * pow(x, 3.0));
}

Error

Bits error versus x

Target

Original	59.9
Target	0.1
Herbie	0.4

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.026:\\ \;\;\;\;\frac{x}{3} \cdot \left(1 + \frac{x \cdot x}{15}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Initial program 59.9

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\]

2. Taylor expanded around 0 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}\]

3. Simplified 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333 + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}\]
4. Using strategy rm

5. Applied add-sqr-sqrt_binary64_1123 0.4

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)} + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\]

6. Applied associate-*r*_binary64_1041 0.8

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right) \cdot \sqrt{0.3333333333333333}} + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\]
7. Using strategy rm

8. Applied add-sqr-sqrt_binary64_1123 0.8

   \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\right)} + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\]

9. Applied associate-*r*_binary64_1041 0.6

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}} + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\]

10. Simplified 0.5

    \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot {\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{1.5}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\]
11. Using strategy rm

12. Applied add-sqr-sqrt_binary64_1123 0.5

    \[\leadsto \left(x \cdot {\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{1.5}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}}\right)} + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\]

13. Applied associate-*r*_binary64_1041 0.4

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot {\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{1.5}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}}} + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\]

14. Final simplification 0.4

    \[\leadsto \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}} \cdot \left(\left(x \cdot {\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{1.5}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}}\right) + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020339 
(FPCore (x)
  :name "invcot (example 3.9)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -0.026 x) (< x 0.026))

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.026) (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0))) (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

  (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))