Average Error: 63.0 → 0.0
Time: 15.4s
Precision: binary64
Cost: 1984
\[n > 6.8 \cdot 10^{+15}\]
\[\left(\left(n + 1\right) \cdot \log \left(n + 1\right) - n \cdot \log n\right) - 1\]
↓
\[\frac{0.5}{n} - \left(\left(\sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666}{n \cdot n}} \cdot \sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666}{n \cdot n}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt{0.16666666666666666}}{\frac{n}{\frac{\sqrt{0.16666666666666666}}{n}}}} - \log n\right)\]
\left(\left(n + 1\right) \cdot \log \left(n + 1\right) - n \cdot \log n\right) - 1
↓
\frac{0.5}{n} - \left(\left(\sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666}{n \cdot n}} \cdot \sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666}{n \cdot n}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt{0.16666666666666666}}{\frac{n}{\frac{\sqrt{0.16666666666666666}}{n}}}} - \log n\right)
(FPCore (n)
 :precision binary64
 (- (- (* (+ n 1.0) (log (+ n 1.0))) (* n (log n))) 1.0))
↓
(FPCore (n)
 :precision binary64
 (-
  (/ 0.5 n)
  (-
   (*
    (*
     (cbrt (/ 0.16666666666666666 (* n n)))
     (cbrt (/ 0.16666666666666666 (* n n))))
    (cbrt
     (/ (sqrt 0.16666666666666666) (/ n (/ (sqrt 0.16666666666666666) n)))))
   (log n))))
double code(double n) {
	return (((n + 1.0) * log(n + 1.0)) - (n * log(n))) - 1.0;
}
↓
double code(double n) {
	return (0.5 / n) - (((cbrt(0.16666666666666666 / (n * n)) * cbrt(0.16666666666666666 / (n * n))) * cbrt(sqrt(0.16666666666666666) / (n / (sqrt(0.16666666666666666) / n)))) - log(n));
}

Error

Bits error versus n

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original63.0
Target0.0
Herbie0.0
\[\log \left(n + 1\right) - \left(\frac{1}{2 \cdot n} - \left(\frac{1}{3 \cdot \left(n \cdot n\right)} - \frac{4}{{n}^{3}}\right)\right)\]

Derivation

  1. Initial program 63.0

    \[\left(\left(n + 1\right) \cdot \log \left(n + 1\right) - n \cdot \log n\right) - 1\]

  2. Taylor expanded around inf 0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.5 \cdot \frac{1}{n} + 1\right) - \left(\log \left(\frac{1}{n}\right) + 0.16666666666666666 \cdot \frac{1}{{n}^{2}}\right)\right)} - 1\]

  3. Simplified0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{0.5}{n}\right) - \left(\frac{0.16666666666666666}{n \cdot n} - \log n\right)\right)} - 1\]

  4. Taylor expanded around 0 0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\log n + 0.5 \cdot \frac{1}{n}\right) - 0.16666666666666666 \cdot \frac{1}{{n}^{2}}}\]

  5. Simplified0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{n} - \left(\frac{0.16666666666666666}{n \cdot n} - \log n\right)}\]
  6. Using strategy rm

  7. Applied add-cube-cbrt_binary64_4540.0

    \[\leadsto \frac{0.5}{n} - \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666}{n \cdot n}} \cdot \sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666}{n \cdot n}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666}{n \cdot n}}} - \log n\right)\]
  8. Using strategy rm

  9. Applied add-sqr-sqrt_binary64_4410.0

    \[\leadsto \frac{0.5}{n} - \left(\left(\sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666}{n \cdot n}} \cdot \sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666}{n \cdot n}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}}}{n \cdot n}} - \log n\right)\]

  10. Applied associate-/l*_binary64_3640.0

    \[\leadsto \frac{0.5}{n} - \left(\left(\sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666}{n \cdot n}} \cdot \sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666}{n \cdot n}}\right) \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\sqrt{0.16666666666666666}}{\frac{n \cdot n}{\sqrt{0.16666666666666666}}}}} - \log n\right)\]

  11. Simplified0.0

    \[\leadsto \frac{0.5}{n} - \left(\left(\sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666}{n \cdot n}} \cdot \sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666}{n \cdot n}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt{0.16666666666666666}}{\color{blue}{\frac{n}{\frac{\sqrt{0.16666666666666666}}{n}}}}} - \log n\right)\]

  12. Final simplification0.0

    \[\leadsto \frac{0.5}{n} - \left(\left(\sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666}{n \cdot n}} \cdot \sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666}{n \cdot n}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt{0.16666666666666666}}{\frac{n}{\frac{\sqrt{0.16666666666666666}}{n}}}} - \log n\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020338 
(FPCore (n)
  :name "logs (example 3.8)"
  :precision binary64
  :pre (> n 6.8e+15)

  :herbie-target
  (- (log (+ n 1.0)) (- (/ 1.0 (* 2.0 n)) (- (/ 1.0 (* 3.0 (* n n))) (/ 4.0 (pow n 3.0)))))

  (- (- (* (+ n 1.0) (log (+ n 1.0))) (* n (log n))) 1.0))