Kahan's exp quotient

Average Error: 40.0 → 0.3

Time: 38.1s

Precision: binary64

Cost: 1601

Math

\[\frac{e^{x} - 1}{x}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00016522653842146253:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{{\left(e^{x}\right)}^{3} - 1}{1 + e^{x} \cdot \left(e^{x} + 1\right)}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(0.5 + \sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666} \cdot \left(\sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666} \cdot \left(\sqrt[3]{-x} \cdot \sqrt[3]{-0.16666666666666666}\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) 1.0) x))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -0.00016522653842146253)
   (/ (/ (- (pow (exp x) 3.0) 1.0) (+ 1.0 (* (exp x) (+ (exp x) 1.0)))) x)
   (+
    1.0
    (*
     x
     (+
      0.5
      (*
       (cbrt (* x 0.16666666666666666))
       (*
        (cbrt (* x 0.16666666666666666))
        (* (cbrt (- x)) (cbrt -0.16666666666666666)))))))))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - 1.0) / x;
}

↓

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -0.00016522653842146253) {
		tmp = ((pow(exp(x), 3.0) - 1.0) / (1.0 + (exp(x) * (exp(x) + 1.0)))) / x;
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 + (cbrt(x * 0.16666666666666666) * (cbrt(x * 0.16666666666666666) * (cbrt(-x) * cbrt(-0.16666666666666666))))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Target

Original	40.0
Target	40.4
Herbie	0.3

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x < 1 \land x > -1:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - 1}{\log \left(e^{x}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - 1}{x}\\ \end{array}\]

Alternative 1
Accuracy	0.3
Cost	1601

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00016522653842146253:\\ \;\;\;\;\frac{{\left(e^{x}\right)}^{3} - 1}{x + x \cdot \left(e^{x} \cdot \left(e^{x} + 1\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(0.5 + \sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666} \cdot \left(\sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666} \cdot \left(\sqrt[3]{-x} \cdot \sqrt[3]{-0.16666666666666666}\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

Alternative 2
Accuracy	0.3
Cost	1601

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00018738617357966643:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - 1}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(0.5 + \sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666} \cdot \left(\sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666} \cdot \left(\sqrt[3]{-x} \cdot \sqrt[3]{-0.16666666666666666}\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

Alternative 3
Accuracy	21.2
Cost	1408

\[1 + x \cdot \left(0.5 + \sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666} \cdot \left(\sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666} \cdot \left(\sqrt[3]{-x} \cdot \sqrt[3]{-0.16666666666666666}\right)\right)\right)\]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.65226538421462532e-4

   1. Initial program 0.0

      \[\frac{e^{x} - 1}{x}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip3--_binary64_764 0.0

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(e^{x}\right)}^{3} - {1}^{3}}{e^{x} \cdot e^{x} + \left(1 \cdot 1 + e^{x} \cdot 1\right)}}}{x}\]

   4. Simplified 0.0

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{{\left(e^{x}\right)}^{3} - 1}}{e^{x} \cdot e^{x} + \left(1 \cdot 1 + e^{x} \cdot 1\right)}}{x}\]

   5. Simplified 0.0

      \[\leadsto \frac{\frac{{\left(e^{x}\right)}^{3} - 1}{\color{blue}{1 + e^{x} \cdot \left(e^{x} + 1\right)}}}{x}\]

   if -1.65226538421462532e-4 < x

   1. Initial program 60.1

      \[\frac{e^{x} - 1}{x}\]

   2. Taylor expanded around 0 0.5

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right)}\]

   3. Simplified 0.5

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)}\]
   4. Using strategy rm

   5. Applied add-cube-cbrt_binary64_795 0.5

      \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666}}\right)\]

   6. Taylor expanded around -inf 32.6

      \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + \left(\sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\left({\left(-1 \cdot x\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \sqrt[3]{-0.16666666666666666}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666}\right)\]

   7. Simplified 0.5

      \[\leadsto 1 + x \cdot \left(0.5 + \left(\sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{-x} \cdot \sqrt[3]{-0.16666666666666666}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666}\right)\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.3

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.00016522653842146253:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{{\left(e^{x}\right)}^{3} - 1}{1 + e^{x} \cdot \left(e^{x} + 1\right)}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(0.5 + \sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666} \cdot \left(\sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666} \cdot \left(\sqrt[3]{-x} \cdot \sqrt[3]{-0.16666666666666666}\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020322 
(FPCore (x)
  :name "Kahan's exp quotient"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (and (< x 1.0) (> x -1.0)) (/ (- (exp x) 1.0) (log (exp x))) (/ (- (exp x) 1.0) x))

  (/ (- (exp x) 1.0) x))