Hyperbolic arc-(co)tangent

Average Error: 58.5 → 0.2

Time: 50.2s

Precision: binary64

Cost: 1920

Math

\[\frac{1}{2} \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)\]

↓

\[0.5 \cdot \left(\left(x + x\right) + \left(0.4 \cdot {x}^{5} - \sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}} \cdot \left(\sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}} \cdot \left(x \cdot \sqrt[3]{-0.6666666666666666}\right)\right)\right)\right)\]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (/ 1.0 2.0) (log (/ (+ 1.0 x) (- 1.0 x)))))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  0.5
  (+
   (+ x x)
   (-
    (* 0.4 (pow x 5.0))
    (*
     (cbrt (* 0.6666666666666666 (pow x 3.0)))
     (*
      (cbrt (* 0.6666666666666666 (pow x 3.0)))
      (* x (cbrt -0.6666666666666666))))))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / 2.0) * log((1.0 + x) / (1.0 - x));
}

↓

double code(double x) {
	return 0.5 * ((x + x) + ((0.4 * pow(x, 5.0)) - (cbrt(0.6666666666666666 * pow(x, 3.0)) * (cbrt(0.6666666666666666 * pow(x, 3.0)) * (x * cbrt(-0.6666666666666666))))));
}

Error

Bits error versus x

Alternative 1
Accuracy	11.2
Cost	3072

\[0.5 \cdot \left(\left(x + x\right) + \sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.4 \cdot {x}^{5}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.4 \cdot {x}^{5}}} \cdot {\left(\sqrt{\sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.4 \cdot {x}^{5}}}\right)}^{3}\right)\right)\]

Derivation

1. Initial program 58.5

   \[\frac{1}{2} \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)\]

2. Simplified 58.5

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \log \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)}\]

3. Taylor expanded around 0 0.2

   \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot x + \left(0.6666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.4 \cdot {x}^{5}\right)\right)}\]

4. Simplified 0.2

   \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\left(x + x\right) + \left({x}^{3} \cdot 0.6666666666666666 + 0.4 \cdot {x}^{5}\right)\right)}\]
5. Using strategy rm

6. Applied add-cube-cbrt_binary64_795 0.2

   \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left(x + x\right) + \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{3} \cdot 0.6666666666666666} \cdot \sqrt[3]{{x}^{3} \cdot 0.6666666666666666}\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{3} \cdot 0.6666666666666666}} + 0.4 \cdot {x}^{5}\right)\right)\]

7. Simplified 0.2

   \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left(x + x\right) + \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}} \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}}\right)} \cdot \sqrt[3]{{x}^{3} \cdot 0.6666666666666666} + 0.4 \cdot {x}^{5}\right)\right)\]

8. Simplified 0.2

   \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left(x + x\right) + \left(\left(\sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}} \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}}} + 0.4 \cdot {x}^{5}\right)\right)\]

9. Taylor expanded around -inf 0.2

   \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left(x + x\right) + \left(\left(\sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}} \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(x \cdot \sqrt[3]{-0.6666666666666666}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}} + 0.4 \cdot {x}^{5}\right)\right)\]

10. Simplified 0.2

    \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left(x + x\right) + \left(\left(\sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}} \cdot \color{blue}{\left(-x \cdot \sqrt[3]{-0.6666666666666666}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}} + 0.4 \cdot {x}^{5}\right)\right)\]

11. Final simplification 0.2

    \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left(x + x\right) + \left(0.4 \cdot {x}^{5} - \sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}} \cdot \left(\sqrt[3]{0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}} \cdot \left(x \cdot \sqrt[3]{-0.6666666666666666}\right)\right)\right)\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020322 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic arc-(co)tangent"
  :precision binary64
  (* (/ 1.0 2.0) (log (/ (+ 1.0 x) (- 1.0 x)))))