math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch

Average Error: 38.5 → 18.8

Time: 49.1s

Precision: binary64

Cost: 2946

\[im > 0\]

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 8.866564380277741 \cdot 10^{+71}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right| - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) 0.0)
   (*
    0.5
    (/ (sqrt (* 2.0 (* im im))) (sqrt (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
   (if (<=
        (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))
        8.866564380277741e+71)
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (fabs (sqrt (+ (* re re) (* im im)))) re))))
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re)))))))

C

double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) <= 0.0) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0 * (im * im)) / sqrt(re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else if (sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) <= 8.866564380277741e+71) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (fabs(sqrt((re * re) + (im * im))) - re));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Alternative 1
Accuracy	19.2
Cost	2946

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 8.866564380277741 \cdot 10^{+71}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right| - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Alternative 2
Accuracy	22.3
Cost	2562

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \leq 7.490871549256111 \cdot 10^{-257}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot 2}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \leq 3.9307981954805 \cdot 10^{+143}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right| - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Alternative 3
Accuracy	22.4
Cost	1985

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 8.866564380277741 \cdot 10^{+71}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right| - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Alternative 4
Accuracy	22.5
Cost	2561

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 1.7952773639626458 \cdot 10^{+76}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right| - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}}\right)\right)\\ \end{array}\]

Alternative 5
Accuracy	24.5
Cost	1921

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \cdot im \leq 6.756346070704097 \cdot 10^{+214}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right| - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}}\right)\right)\\ \end{array}\]

Alternative 6
Accuracy	38.5
Cost	1024

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right| - re\right)}\]

Alternative 7
Accuracy	64.0
Cost	1472

\[0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \mathsf{NaN} + \left(\sqrt{2} \cdot \frac{re}{im}\right) \cdot \left(\mathsf{NaN} + \frac{2}{im} \cdot {\mathsf{NaN}}^{3}\right)\right)\]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (sqrt.f64 (*.f64 2 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re))) < 0.0

   1. Initial program 57.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip--_binary64_394 57.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Applied associate-*r/_binary64_361 57.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   5. Applied sqrt-div_binary64_436 57.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   6. Simplified 26.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

   7. Simplified 26.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]

   if 0.0 < (sqrt.f64 (*.f64 2 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re))) < 8.866564380277741e71

   1. Initial program 4.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt_binary64_441 4.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

   4. Applied rem-sqrt-square_binary64_432 4.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left|\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right|} - re\right)}\]

   if 8.866564380277741e71 < (sqrt.f64 (*.f64 2 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re)))

   1. Initial program 61.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 28.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied *-un-lft-identity_binary64_419 28.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\right)}\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 18.8

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 8.866564380277741 \cdot 10^{+71}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right| - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020322 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  :pre (> im 0.0)
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))