expax (section 3.5)

Average Error: 29.6 → 3.0

Time: 4.3min

Precision: binary64

Cost: 5506

Math

\[e^{a \cdot x} - 1\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \cdot x \leq -0.0006823369320874611:\\ \;\;\;\;\frac{{\left(e^{a \cdot x}\right)}^{2} + -1}{e^{a \cdot x} + 1}\\ \mathbf{elif}\;a \cdot x \leq -2.7244183453437766 \cdot 10^{-112}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(a + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5\right)\right)} \cdot \left(\frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.125 + {\left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}^{3}\right)\right)}}{\sqrt[3]{0.25 + a \cdot \left(\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + -0.5\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5\right)\right)}\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;a \cdot x \leq 6.054821837814354 \cdot 10^{-57}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(a + \log \left({\left(e^{x}\right)}^{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5\right)\right)}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(a + x \cdot e^{\log \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5\right)\right)}\right)\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (a x) :precision binary64 (- (exp (* a x)) 1.0))

↓

(FPCore (a x)
 :precision binary64
 (if (<= (* a x) -0.0006823369320874611)
   (/ (+ (pow (exp (* a x)) 2.0) -1.0) (+ (exp (* a x)) 1.0))
   (if (<= (* a x) -2.7244183453437766e-112)
     (*
      x
      (+
       a
       (*
        (* (cbrt x) (cbrt x))
        (*
         (cbrt
          (* (cbrt x) (* (* a a) (+ (* a (* x 0.16666666666666666)) 0.5))))
         (*
          (/
           (cbrt
            (*
             (cbrt x)
             (* (* a a) (+ 0.125 (pow (* a (* x 0.16666666666666666)) 3.0)))))
           (cbrt
            (+
             0.25
             (*
              a
              (*
               (* x 0.16666666666666666)
               (+ (* a (* x 0.16666666666666666)) -0.5))))))
          (cbrt
           (*
            (cbrt x)
            (* (* a a) (+ (* a (* x 0.16666666666666666)) 0.5)))))))))
     (if (<= (* a x) 6.054821837814354e-57)
       (*
        x
        (+
         a
         (log
          (pow (exp x) (* (* a a) (+ (* a (* x 0.16666666666666666)) 0.5))))))
       (*
        x
        (+
         a
         (*
          x
          (exp
           (log (* (* a a) (+ (* a (* x 0.16666666666666666)) 0.5)))))))))))

C

double code(double a, double x) {
	return exp(a * x) - 1.0;
}

↓

double code(double a, double x) {
	double tmp;
	if ((a * x) <= -0.0006823369320874611) {
		tmp = (pow(exp(a * x), 2.0) + -1.0) / (exp(a * x) + 1.0);
	} else if ((a * x) <= -2.7244183453437766e-112) {
		tmp = x * (a + ((cbrt(x) * cbrt(x)) * (cbrt(cbrt(x) * ((a * a) * ((a * (x * 0.16666666666666666)) + 0.5))) * ((cbrt(cbrt(x) * ((a * a) * (0.125 + pow((a * (x * 0.16666666666666666)), 3.0)))) / cbrt(0.25 + (a * ((x * 0.16666666666666666) * ((a * (x * 0.16666666666666666)) + -0.5))))) * cbrt(cbrt(x) * ((a * a) * ((a * (x * 0.16666666666666666)) + 0.5)))))));
	} else if ((a * x) <= 6.054821837814354e-57) {
		tmp = x * (a + log(pow(exp(x), ((a * a) * ((a * (x * 0.16666666666666666)) + 0.5)))));
	} else {
		tmp = x * (a + (x * exp(log((a * a) * ((a * (x * 0.16666666666666666)) + 0.5)))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus x

Target

Original	29.6
Target	0.2
Herbie	3.0

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|a \cdot x\right| < 0.1:\\ \;\;\;\;\left(a \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(\frac{a \cdot x}{2} + \frac{{\left(a \cdot x\right)}^{2}}{6}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{a \cdot x} - 1\\ \end{array}\]

Alternative 1
Accuracy	3.0
Cost	1537

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \cdot x \leq -0.0006823369320874611:\\ \;\;\;\;\frac{{\left(e^{a \cdot x}\right)}^{2} + -1}{e^{a \cdot x} + 1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(a + x \cdot e^{\log \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right)\\ \end{array}\]

Alternative 2
Accuracy	3.0
Cost	1793

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \cdot x \leq -0.0006823369320874611:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{e^{a \cdot x} - 1} \cdot \left(\sqrt[3]{e^{a \cdot x} - 1} \cdot \sqrt[3]{e^{a \cdot x} - 1}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(a + x \cdot e^{\log \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right)\\ \end{array}\]

Alternative 3
Accuracy	3.0
Cost	5185

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \cdot x \leq -0.0006823369320874611:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{e^{a \cdot x} - 1} \cdot \left(\sqrt[3]{e^{a \cdot x} - 1} \cdot \sqrt[3]{e^{a \cdot x} - 1}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(a + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5\right)\right)} \cdot \left(\frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.125 + {\left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}^{3}\right)\right)}}{\sqrt[3]{0.25 + a \cdot \left(\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + -0.5\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5\right)\right)}\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

Alternative 4
Accuracy	3.0
Cost	5185

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \cdot x \leq -0.0006823369320874611:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{e^{a \cdot x}} \cdot \left(\sqrt[3]{e^{a \cdot x}} \cdot \sqrt[3]{e^{a \cdot x}}\right) - 1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(a + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5\right)\right)} \cdot \left(\frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.125 + {\left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}^{3}\right)\right)}}{\sqrt[3]{0.25 + a \cdot \left(\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + -0.5\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5\right)\right)}\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

Alternative 5
Accuracy	24.0
Cost	4864

\[x \cdot \left(a + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5\right)\right)} \cdot \left(\frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.125 + {\left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}^{3}\right)\right)}}{\sqrt[3]{0.25 + a \cdot \left(\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + -0.5\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5\right)\right)}\right)\right)\right)\]

Alternative 6
Accuracy	24.6
Cost	3584

\[\sqrt[3]{x \cdot \left(a + x \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{x \cdot \left(a + x \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{x \cdot \left(a + x \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}\right)\]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if (*.f64 a x) < -6.82336932087461109e-4

   1. Initial program 0.0

      \[e^{a \cdot x} - 1\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip--_binary64_1417 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{a \cdot x} \cdot e^{a \cdot x} - 1 \cdot 1}{e^{a \cdot x} + 1}}\]

   4. Simplified 0.0

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(e^{a \cdot x}\right)}^{2} + -1}}{e^{a \cdot x} + 1}\]

   if -6.82336932087461109e-4 < (*.f64 a x) < -2.7244183453437766e-112

   1. Initial program 57.8

      \[e^{a \cdot x} - 1\]

   2. Taylor expanded around 0 32.7

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({a}^{3} \cdot {x}^{3}\right) + \left(a \cdot x + 0.5 \cdot \left({a}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\]

   3. Simplified 17.4

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(a + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(a \cdot a\right) + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {a}^{3}\right)\right)\right)}\]
   4. Using strategy rm

   5. Applied add-cube-cbrt_binary64_1477 17.4

      \[\leadsto x \cdot \left(a + \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \cdot \left(0.5 \cdot \left(a \cdot a\right) + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {a}^{3}\right)\right)\right)\]

   6. Applied associate-*l*_binary64_1383 17.4

      \[\leadsto x \cdot \left(a + \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(0.5 \cdot \left(a \cdot a\right) + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {a}^{3}\right)\right)\right)}\right)\]

   7. Simplified 11.9

      \[\leadsto x \cdot \left(a + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot a\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x}\right)}\right)\]
   8. Using strategy rm

   9. Applied add-cube-cbrt_binary64_1477 11.9

      \[\leadsto x \cdot \left(a + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot a\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot a\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x}}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot a\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x}}\right)}\right)\]

   10. Simplified 11.9

       \[\leadsto x \cdot \left(a + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot a\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x}}\right)\right)\]

   11. Simplified 11.9

       \[\leadsto x \cdot \left(a + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}\right)\right)\]
   12. Using strategy rm

   13. Applied flip3-+_binary64_1445 11.9

       \[\leadsto x \cdot \left(a + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \color{blue}{\frac{{0.5}^{3} + {\left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}^{3}}{0.5 \cdot 0.5 + \left(\left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) - 0.5 \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}\right)} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right)\right)\]

   14. Applied associate-*r/_binary64_1384 11.9

       \[\leadsto x \cdot \left(a + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\frac{\left(a \cdot a\right) \cdot \left({0.5}^{3} + {\left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}^{3}\right)}{0.5 \cdot 0.5 + \left(\left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) - 0.5 \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right)\right)\]

   15. Applied associate-*r/_binary64_1384 11.9

       \[\leadsto x \cdot \left(a + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left({0.5}^{3} + {\left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}^{3}\right)\right)}{0.5 \cdot 0.5 + \left(\left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) - 0.5 \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right)\right)\]

   16. Applied cbrt-div_binary64_1474 11.9

       \[\leadsto x \cdot \left(a + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left({0.5}^{3} + {\left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}^{3}\right)\right)}}{\sqrt[3]{0.5 \cdot 0.5 + \left(\left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) - 0.5 \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right)\right)\]

   17. Simplified 11.9

       \[\leadsto x \cdot \left(a + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\left(\frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.125 + {\left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}^{3}\right)\right)}}}{\sqrt[3]{0.5 \cdot 0.5 + \left(\left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) - 0.5 \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right)\right)\]

   18. Simplified 11.9

       \[\leadsto x \cdot \left(a + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\left(\frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.125 + {\left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}^{3}\right)\right)}}{\color{blue}{\sqrt[3]{0.25 + a \cdot \left(\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + -0.5\right)\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right)\right)\]

   if -2.7244183453437766e-112 < (*.f64 a x) < 6.05482183781435401e-57

   1. Initial program 40.8

      \[e^{a \cdot x} - 1\]

   2. Taylor expanded around 0 7.3

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({a}^{3} \cdot {x}^{3}\right) + \left(a \cdot x + 0.5 \cdot \left({a}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\]

   3. Simplified 3.8

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(a + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(a \cdot a\right) + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {a}^{3}\right)\right)\right)}\]
   4. Using strategy rm

   5. Applied add-log-exp_binary64_1481 4.0

      \[\leadsto x \cdot \left(a + \color{blue}{\log \left(e^{x \cdot \left(0.5 \cdot \left(a \cdot a\right) + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {a}^{3}\right)\right)}\right)}\right)\]

   6. Simplified 1.4

      \[\leadsto x \cdot \left(a + \log \color{blue}{\left({\left(e^{x}\right)}^{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot a\right)\right)}\right)}\right)\]

   if 6.05482183781435401e-57 < (*.f64 a x)

   1. Initial program 48.8

      \[e^{a \cdot x} - 1\]

   2. Taylor expanded around 0 40.5

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({a}^{3} \cdot {x}^{3}\right) + \left(a \cdot x + 0.5 \cdot \left({a}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\]

   3. Simplified 23.4

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(a + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(a \cdot a\right) + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {a}^{3}\right)\right)\right)}\]
   4. Using strategy rm

   5. Applied add-exp-log_binary64_1480 23.4

      \[\leadsto x \cdot \left(a + x \cdot \color{blue}{e^{\log \left(0.5 \cdot \left(a \cdot a\right) + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {a}^{3}\right)\right)}}\right)\]

   6. Simplified 17.1

      \[\leadsto x \cdot \left(a + x \cdot e^{\color{blue}{\log \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot a\right)\right)}}\right)\]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 3.0

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \cdot x \leq -0.0006823369320874611:\\ \;\;\;\;\frac{{\left(e^{a \cdot x}\right)}^{2} + -1}{e^{a \cdot x} + 1}\\ \mathbf{elif}\;a \cdot x \leq -2.7244183453437766 \cdot 10^{-112}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(a + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5\right)\right)} \cdot \left(\frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(0.125 + {\left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}^{3}\right)\right)}}{\sqrt[3]{0.25 + a \cdot \left(\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + -0.5\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5\right)\right)}\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;a \cdot x \leq 6.054821837814354 \cdot 10^{-57}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(a + \log \left({\left(e^{x}\right)}^{\left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5\right)\right)}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(a + x \cdot e^{\log \left(\left(a \cdot a\right) \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5\right)\right)}\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020322 
(FPCore (a x)
  :name "expax (section 3.5)"
  :precision binary64
  :herbie-expected 14

  :herbie-target
  (if (< (fabs (* a x)) 0.1) (* (* a x) (+ 1.0 (+ (/ (* a x) 2.0) (/ (pow (* a x) 2.0) 6.0)))) (- (exp (* a x)) 1.0))

  (- (exp (* a x)) 1.0))