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Precision: binary64
\[x \cdot e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\log \left(1 - z\right) - b\right)}\]
↓
\[\left(x \cdot {e}^{\left(\frac{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}{2}\right)}\right) \cdot {\left(e^{\sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) - a \cdot \left(b + \left(z + \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right) \cdot \left(z \cdot z\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) - a \cdot \left(b + \left(z + \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right) \cdot \left(z \cdot z\right)\right)\right)}}\right)}^{\left(\frac{\sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}{2}\right)}\]
x \cdot e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\log \left(1 - z\right) - b\right)}
↓
\left(x \cdot {e}^{\left(\frac{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}{2}\right)}\right) \cdot {\left(e^{\sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) - a \cdot \left(b + \left(z + \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right) \cdot \left(z \cdot z\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) - a \cdot \left(b + \left(z + \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right) \cdot \left(z \cdot z\right)\right)\right)}}\right)}^{\left(\frac{\sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}{2}\right)}
(FPCore (x y z t a b)
 :precision binary64
 (* x (exp (+ (* y (- (log z) t)) (* a (- (log (- 1.0 z)) b))))))
↓
(FPCore (x y z t a b)
 :precision binary64
 (*
  (*
   x
   (pow
    E
    (/
     (+
      (* y (- (log z) t))
      (* a (- (* z (- -1.0 (* z (+ (* z 0.3333333333333333) 0.5)))) b)))
     2.0)))
  (pow
   (exp
    (*
     (cbrt
      (-
       (* y (- (log z) t))
       (* a (+ b (+ z (* (+ (* z 0.3333333333333333) 0.5) (* z z)))))))
     (cbrt
      (-
       (* y (- (log z) t))
       (* a (+ b (+ z (* (+ (* z 0.3333333333333333) 0.5) (* z z)))))))))
   (/
    (cbrt
     (+
      (* y (- (log z) t))
      (* a (- (* z (- -1.0 (* z (+ (* z 0.3333333333333333) 0.5)))) b))))
    2.0))))
double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b) {
	return x * exp((y * (log(z) - t)) + (a * (log(1.0 - z) - b)));
}
↓
double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b) {
	return (x * pow(((double) M_E), (((y * (log(z) - t)) + (a * ((z * (-1.0 - (z * ((z * 0.3333333333333333) + 0.5)))) - b))) / 2.0))) * pow(exp(cbrt((y * (log(z) - t)) - (a * (b + (z + (((z * 0.3333333333333333) + 0.5) * (z * z)))))) * cbrt((y * (log(z) - t)) - (a * (b + (z + (((z * 0.3333333333333333) + 0.5) * (z * z))))))), (cbrt((y * (log(z) - t)) + (a * ((z * (-1.0 - (z * ((z * 0.3333333333333333) + 0.5)))) - b))) / 2.0));
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

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Derivation

  1. Initial program 1.9

    \[x \cdot e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\log \left(1 - z\right) - b\right)}\]

  2. Taylor expanded around 0 0.4

    \[\leadsto x \cdot e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\color{blue}{\left(-\left(0.3333333333333333 \cdot {z}^{3} + \left(0.5 \cdot {z}^{2} + z\right)\right)\right)} - b\right)}\]

  3. Simplified0.4

    \[\leadsto x \cdot e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right)} - b\right)}\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied add-sqr-sqrt_binary64_21460.4

    \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}} \cdot \sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}\right)}\]

  6. Applied associate-*r*_binary64_20640.4

    \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}\right) \cdot \sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}}\]

  7. Simplified0.4

    \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}\right)} \cdot \sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}\]
  8. Using strategy rm

  9. Applied *-un-lft-identity_binary64_21240.4

    \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{e^{\color{blue}{1 \cdot \left(y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)\right)}}}\right) \cdot \sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}\]

  10. Applied exp-prod_binary64_21760.4

    \[\leadsto \left(x \cdot \sqrt{\color{blue}{{\left(e^{1}\right)}^{\left(y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)\right)}}}\right) \cdot \sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}\]

  11. Applied sqrt-pow1_binary64_21420.4

    \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{{\left(e^{1}\right)}^{\left(\frac{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}{2}\right)}}\right) \cdot \sqrt{e^{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}\]
  12. Using strategy rm

  13. Applied add-cube-cbrt_binary64_21590.4

    \[\leadsto \left(x \cdot {\left(e^{1}\right)}^{\left(\frac{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}{2}\right)}\right) \cdot \sqrt{e^{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)} \cdot \sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}}}\]

  14. Applied exp-prod_binary64_21760.4

    \[\leadsto \left(x \cdot {\left(e^{1}\right)}^{\left(\frac{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}{2}\right)}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{{\left(e^{\sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)} \cdot \sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}\right)}^{\left(\sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}\right)}}}\]

  15. Applied sqrt-pow1_binary64_21420.4

    \[\leadsto \left(x \cdot {\left(e^{1}\right)}^{\left(\frac{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}{2}\right)}\right) \cdot \color{blue}{{\left(e^{\sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)} \cdot \sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}\right)}^{\left(\frac{\sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}{2}\right)}}\]

  16. Simplified0.4

    \[\leadsto \left(x \cdot {\left(e^{1}\right)}^{\left(\frac{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}{2}\right)}\right) \cdot {\left(e^{\sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)} \cdot \sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(\left(\left(-z\right) - \left(z \cdot z\right) \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}{2}\right)}}\]

  17. Final simplification0.4

    \[\leadsto \left(x \cdot {e}^{\left(\frac{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}{2}\right)}\right) \cdot {\left(e^{\sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) - a \cdot \left(b + \left(z + \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right) \cdot \left(z \cdot z\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) - a \cdot \left(b + \left(z + \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right) \cdot \left(z \cdot z\right)\right)\right)}}\right)}^{\left(\frac{\sqrt[3]{y \cdot \left(\log z - t\right) + a \cdot \left(z \cdot \left(-1 - z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right) - b\right)}}{2}\right)}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020308 
(FPCore (x y z t a b)
  :name "Numeric.SpecFunctions:incompleteBetaApprox from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64
  (* x (exp (+ (* y (- (log z) t)) (* a (- (log (- 1.0 z)) b))))))