Average Error: 47.6 → 14.0
Time: 21.7s
Precision: binary64
\[100 \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{n}}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;i \leq -0.183119611805929 \lor \neg \left(i \leq 13.623857027906789\right):\\ \;\;\;\;100 \cdot \left(\frac{n}{i} \cdot \left(-1 + {\left(\frac{i}{n}\right)}^{n}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;100 \cdot \left(n + n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + \left(i \cdot \left(\sqrt[3]{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{0.16666666666666666}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{0.16666666666666666}}\right)\right)\right)\right)\\ \end{array}\]
100 \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{n}}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;i \leq -0.183119611805929 \lor \neg \left(i \leq 13.623857027906789\right):\\
\;\;\;\;100 \cdot \left(\frac{n}{i} \cdot \left(-1 + {\left(\frac{i}{n}\right)}^{n}\right)\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;100 \cdot \left(n + n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + \left(i \cdot \left(\sqrt[3]{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{0.16666666666666666}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{0.16666666666666666}}\right)\right)\right)\right)\\

\end{array}
(FPCore (i n)
 :precision binary64
 (* 100.0 (/ (- (pow (+ 1.0 (/ i n)) n) 1.0) (/ i n))))
↓
(FPCore (i n)
 :precision binary64
 (if (or (<= i -0.183119611805929) (not (<= i 13.623857027906789)))
   (* 100.0 (* (/ n i) (+ -1.0 (pow (/ i n) n))))
   (*
    100.0
    (+
     n
     (*
      n
      (*
       i
       (+
        0.5
        (*
         (* i (* (cbrt 0.16666666666666666) (cbrt 0.16666666666666666)))
         (*
          (cbrt (sqrt 0.16666666666666666))
          (cbrt (sqrt 0.16666666666666666)))))))))))
double code(double i, double n) {
	return 100.0 * ((pow((1.0 + (i / n)), n) - 1.0) / (i / n));
}
↓
double code(double i, double n) {
	double tmp;
	if ((i <= -0.183119611805929) || !(i <= 13.623857027906789)) {
		tmp = 100.0 * ((n / i) * (-1.0 + pow((i / n), n)));
	} else {
		tmp = 100.0 * (n + (n * (i * (0.5 + ((i * (cbrt(0.16666666666666666) * cbrt(0.16666666666666666))) * (cbrt(sqrt(0.16666666666666666)) * cbrt(sqrt(0.16666666666666666))))))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus i

Bits error versus n

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original47.6
Target47.2
Herbie14.0
\[100 \cdot \frac{e^{n \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 + \frac{i}{n} = 1:\\ \;\;\;\;\frac{i}{n}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{i}{n} \cdot \log \left(1 + \frac{i}{n}\right)}{\left(\frac{i}{n} + 1\right) - 1}\\ \end{array}} - 1}{\frac{i}{n}}\]

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if i < -0.18311961180592901 or 13.623857027906789 < i

    1. Initial program 28.8

      \[100 \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{n}}\]

    2. Taylor expanded around inf 51.2

      \[\leadsto 100 \cdot \color{blue}{\frac{n \cdot \left(e^{\left(\log \left(\frac{1}{n}\right) - \log \left(\frac{1}{i}\right)\right) \cdot n} - 1\right)}{i}}\]

    3. Simplified22.8

      \[\leadsto 100 \cdot \color{blue}{\left(\frac{n}{i} \cdot \left(-1 + {\left(\frac{i}{n}\right)}^{n}\right)\right)}\]

    if -0.18311961180592901 < i < 13.623857027906789

    1. Initial program 58.1

      \[100 \cdot \frac{{\left(1 + \frac{i}{n}\right)}^{n} - 1}{\frac{i}{n}}\]

    2. Taylor expanded around 0 26.3

      \[\leadsto 100 \cdot \frac{\color{blue}{i + \left(0.16666666666666666 \cdot {i}^{3} + 0.5 \cdot {i}^{2}\right)}}{\frac{i}{n}}\]

    3. Simplified26.3

      \[\leadsto 100 \cdot \frac{\color{blue}{i + \left(i \cdot i\right) \cdot \left(0.5 + 0.16666666666666666 \cdot i\right)}}{\frac{i}{n}}\]

    4. Taylor expanded around 0 9.1

      \[\leadsto 100 \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(i \cdot n\right) + \left(n + 0.16666666666666666 \cdot \left({i}^{2} \cdot n\right)\right)\right)}\]

    5. Simplified9.1

      \[\leadsto 100 \cdot \color{blue}{\left(n + n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied add-cube-cbrt_binary64_24689.1

      \[\leadsto 100 \cdot \left(n + n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + i \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right)}\right)\right)\right)\]

    8. Applied associate-*r*_binary64_23789.1

      \[\leadsto 100 \cdot \left(n + n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(i \cdot \left(\sqrt[3]{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}}\right)\right)\right)\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied add-sqr-sqrt_binary64_24579.1

      \[\leadsto 100 \cdot \left(n + n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + \left(i \cdot \left(\sqrt[3]{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}}}\right)\right)\right)\]

    11. Applied cbrt-prod_binary64_24649.1

      \[\leadsto 100 \cdot \left(n + n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + \left(i \cdot \left(\sqrt[3]{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{0.16666666666666666}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{0.16666666666666666}}\right)}\right)\right)\right)\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification14.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;i \leq -0.183119611805929 \lor \neg \left(i \leq 13.623857027906789\right):\\ \;\;\;\;100 \cdot \left(\frac{n}{i} \cdot \left(-1 + {\left(\frac{i}{n}\right)}^{n}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;100 \cdot \left(n + n \cdot \left(i \cdot \left(0.5 + \left(i \cdot \left(\sqrt[3]{0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{0.16666666666666666}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{0.16666666666666666}}\right)\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020303 
(FPCore (i n)
  :name "Compound Interest"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* 100.0 (/ (- (exp (* n (if (== (+ 1.0 (/ i n)) 1.0) (/ i n) (/ (* (/ i n) (log (+ 1.0 (/ i n)))) (- (+ (/ i n) 1.0) 1.0))))) 1.0) (/ i n)))

  (* 100.0 (/ (- (pow (+ 1.0 (/ i n)) n) 1.0) (/ i n))))