Average Error: 19.7 → 0.3
Time: 11.7s
Precision: binary32
\[0 \leq ux \land ux \leq 1 \land 0 \leq uy \land uy \leq 1 \land 0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\]
\[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\]
↓
\[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{ux - ux \cdot maxCos} \cdot \sqrt{2 - \left(ux - ux \cdot maxCos\right)}\right)\]
\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}
↓
\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{ux - ux \cdot maxCos} \cdot \sqrt{2 - \left(ux - ux \cdot maxCos\right)}\right)
(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))
↓
(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (* (sqrt (- ux (* ux maxCos))) (sqrt (- 2.0 (- ux (* ux maxCos)))))))
float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)) * sqrtf(1.0f - (((1.0f - ux) + (ux * maxCos)) * ((1.0f - ux) + (ux * maxCos))));
}
↓
float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)) * (sqrtf(ux - (ux * maxCos)) * sqrtf(2.0f - (ux - (ux * maxCos))));
}

Error

Bits error versus ux

Bits error versus uy

Bits error versus maxCos

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Derivation

  1. Initial program 19.7

    \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\]

  2. Simplified0.4

    \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(ux - ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied sqrt-prod_binary32_920.3

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{ux - ux \cdot maxCos} \cdot \sqrt{1 + \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\]

  5. Simplified0.3

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{ux - ux \cdot maxCos} \cdot \color{blue}{\sqrt{2 - \left(ux - ux \cdot maxCos\right)}}\right)\]

  6. Final simplification0.3

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\sqrt{ux - ux \cdot maxCos} \cdot \sqrt{2 - \left(ux - ux \cdot maxCos\right)}\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020299 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, y"
  :precision binary32
  :pre (and (<= 0.0 ux 1.0) (<= 0.0 uy 1.0) (<= 0.0 maxCos 1.0))
  (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))