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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \leq 1.0877476554772207 \cdot 10^{-161} \lor \neg \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \leq 5.306899585368144 \cdot 10^{+153}\right):\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot 2}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \leq 0:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \leq 1.0877476554772207 \cdot 10^{-161} \lor \neg \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \leq 5.306899585368144 \cdot 10^{+153}\right):\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot 2}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))) 0.0)
   (*
    0.5
    (/ (sqrt (* (* im im) 2.0)) (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
   (if (or (<= (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))) 1.0877476554772207e-161)
           (not
            (<= (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))) 5.306899585368144e+153)))
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re re))))
     (* 0.5 (sqrt (* (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))) 2.0))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((re + sqrt((re * re) + (im * im))) <= 0.0) {
		tmp = 0.5 * (sqrt((im * im) * 2.0) / sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
	} else if (((re + sqrt((re * re) + (im * im))) <= 1.0877476554772207e-161) || !((re + sqrt((re * re) + (im * im))) <= 5.306899585368144e+153)) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + re));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt((re + sqrt((re * re) + (im * im))) * 2.0);
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.6
Target33.7
Herbie26.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if (+.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re) < 0.0

    1. Initial program 58.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_312158.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_308958.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_316458.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified33.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if 0.0 < (+.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re) < 1.0877476554772207e-161 or 5.30689958536814408e153 < (+.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re)

    1. Initial program 63.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 45.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]

    if 1.0877476554772207e-161 < (+.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re) < 5.30689958536814408e153

    1. Initial program 0.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification26.8

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \leq 1.0877476554772207 \cdot 10^{-161} \lor \neg \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \leq 5.306899585368144 \cdot 10^{+153}\right):\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot 2}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020295 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))