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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -2.5991937408382053 \cdot 10^{+162}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -5.2611073750173795 \cdot 10^{-303}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 5.6392861707035385 \cdot 10^{+122}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -2.5991937408382053 \cdot 10^{+162}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -5.2611073750173795 \cdot 10^{-303}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\right)\\

\mathbf{elif}\;re \leq 5.6392861707035385 \cdot 10^{+122}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -2.5991937408382053e+162)
   (* 0.5 (/ (sqrt (* (* im im) 2.0)) (sqrt (* re -2.0))))
   (if (<= re -5.2611073750173795e-303)
     (*
      0.5
      (*
       (fabs im)
       (/ (sqrt 2.0) (sqrt (- (sqrt (+ (* im im) (* re re))) re)))))
     (if (<= re 5.6392861707035385e+122)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* im im) (* re re)))))))
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re re))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -2.5991937408382053e+162) {
		tmp = 0.5 * (sqrt((im * im) * 2.0) / sqrt(re * -2.0));
	} else if (re <= -5.2611073750173795e-303) {
		tmp = 0.5 * (fabs(im) * (sqrt(2.0) / sqrt(sqrt((im * im) + (re * re)) - re)));
	} else if (re <= 5.6392861707035385e+122) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((im * im) + (re * re))));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

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Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.4
Target33.5
Herbie18.6
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -2.59919374083820533e162

    1. Initial program 64.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_246164.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_242964.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_250464.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified50.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    7. Taylor expanded around -inf 18.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

    8. Simplified18.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\color{blue}{re \cdot -2}}}\]

    if -2.59919374083820533e162 < re < -5.26110737501737954e-303

    1. Initial program 40.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_246139.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_242939.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_250440.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified29.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied *-un-lft-identity_binary64_248729.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

    9. Applied sqrt-prod_binary64_250329.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    10. Applied sqrt-prod_binary64_250329.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im} \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    11. Applied times-frac_binary64_249329.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

    12. Simplified20.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

    if -5.26110737501737954e-303 < re < 5.63928617070353848e122

    1. Initial program 20.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 5.63928617070353848e122 < re

    1. Initial program 56.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 8.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification18.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -2.5991937408382053 \cdot 10^{+162}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -5.2611073750173795 \cdot 10^{-303}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 5.6392861707035385 \cdot 10^{+122}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020289 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))