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Precision: binary64
\[im > 0\]
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -5.92404308041133 \cdot 10^{+81}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -4029.537249877249:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq -4.394426049509313 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -3.050262596495973 \cdot 10^{-40}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9579733112277025 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{im - re}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.1025679527940389 \cdot 10^{+105}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.6360421142108628 \cdot 10^{+222}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -5.92404308041133 \cdot 10^{+81}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -4029.537249877249:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)\\

\mathbf{elif}\;re \leq -4.394426049509313 \cdot 10^{-15}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -3.050262596495973 \cdot 10^{-40}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)\\

\mathbf{elif}\;re \leq 1.9579733112277025 \cdot 10^{+20}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{im - re}\right)\\

\mathbf{elif}\;re \leq 2.1025679527940389 \cdot 10^{+105}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 2.6360421142108628 \cdot 10^{+222}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -5.92404308041133e+81)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (* re -2.0))))
   (if (<= re -4029.537249877249)
     (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
     (if (<= re -4.394426049509313e-15)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re))))
       (if (<= re -3.050262596495973e-40)
         (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
         (if (<= re 1.9579733112277025e+20)
           (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (- im re))))
           (if (<= re 2.1025679527940389e+105)
             (*
              0.5
              (/
               (sqrt (* 2.0 (* im im)))
               (sqrt (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
             (if (<= re 2.6360421142108628e+222)
               (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re))))
               0.0))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -5.92404308041133e+81) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re * -2.0));
	} else if (re <= -4029.537249877249) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0) * sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
	} else if (re <= -4.394426049509313e-15) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	} else if (re <= -3.050262596495973e-40) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0) * sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
	} else if (re <= 1.9579733112277025e+20) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0) * sqrt(im - re));
	} else if (re <= 2.1025679527940389e+105) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0 * (im * im)) / sqrt(re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else if (re <= 2.6360421142108628e+222) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	} else {
		tmp = 0.0;
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 6 regimes

  2. if re < -5.9240430804113297e81

    1. Initial program 48.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 10.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    3. Simplified10.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -2\right)}}\]

    if -5.9240430804113297e81 < re < -4029.537249877249 or -4.3944260495093133e-15 < re < -3.05026259649597315e-40

    1. Initial program 17.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied sqrt-prod_binary64_43917.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\]

    if -4029.537249877249 < re < -4.3944260495093133e-15 or 2.1025679527940389e105 < re < 2.63604211421086276e222

    1. Initial program 52.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 46.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]

    if -3.05026259649597315e-40 < re < 195797331122770248000

    1. Initial program 30.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 13.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied sqrt-prod_binary64_43914.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{im - re}\right)}\]

    if 195797331122770248000 < re < 2.1025679527940389e105

    1. Initial program 48.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--_binary64_39848.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_36548.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_44048.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified27.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    7. Simplified27.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]

    if 2.63604211421086276e222 < re

    1. Initial program 64.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 48.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{0}\]
  3. Recombined 6 regimes into one program.

  4. Final simplification20.5

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -5.92404308041133 \cdot 10^{+81}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -4029.537249877249:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq -4.394426049509313 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -3.050262596495973 \cdot 10^{-40}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.9579733112277025 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{im - re}\right)\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.1025679527940389 \cdot 10^{+105}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.6360421142108628 \cdot 10^{+222}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020289 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  :pre (> im 0.0)
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))